Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{x^{2} - y^{2}}$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial como uma função de $\frac{y}{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Multiplique $\frac{x y}{x^{2} - y^{2}}$ por $\frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{x^{2} - y^{2}} \cdot \frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$

Etapa 1.2

Multiplique $\frac{x y}{x^{2} - y^{2}}$ por $\frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \frac{1}{x^{2}}}{(x^{2} - y^{2}) \frac{1}{x^{2}}}$

Etapa 1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \frac{1}{x^{2}}}{x^{2} \frac{1}{x^{2}} - y^{2} \frac{1}{x^{2}}}$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \frac{1}{x^{2}}}{x^{2} \frac{1}{x^{2}} - y^{2} \frac{1}{x^{2}}}$

Etapa 1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \frac{1}{x^{2}}}{1 - y^{2} \frac{1}{x^{2}}}$

Etapa 1.5

Combine $\frac{1}{x^{2}}$ e $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \frac{1}{x^{2}}}{1 - \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

Etapa 1.6

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1

Fatore $x$ de $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y) \frac{1}{x^{2}}}{1 - \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

Etapa 1.6.2

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y) \frac{1}{x \cdot x}}{1 - \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

Etapa 1.6.3

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \frac{1}{x \cdot x}}{1 - \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

Etapa 1.6.4

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \frac{1}{x}}{1 - \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

Etapa 1.7

Combine $y$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{1 - \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

Etapa 1.8

Use a potência da regra do quociente $\frac{a^{m}}{b^{m}} = {(\frac{a}{b})}^{m}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{1 - {(\frac{y}{x})}^{2}}$

Etapa 2

Deixe $V = \frac{y}{x}$ . Substitua $V$ por $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{V}{1 - V^{2}}$

Etapa 3

Resolva $V = \frac{y}{x}$ para $y$ .

$y = V x$

Etapa 4

Use a regra do produto para encontrar a derivada de $y = V x$ com relação a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Etapa 5

Substitua $x \frac{d V}{d x} + V$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{1 - V^{2}}$

Etapa 6

Resolva a equação diferencial substituída.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Resolva $\frac{d V}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.1.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{1^{2} - V^{2}}$

Etapa 6.1.1.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{(1 + V) (1 - V)}$

Etapa 6.1.1.2

Subtraia $V$ dos dois lados da equação.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{(1 + V) (1 - V)} - V$

Etapa 6.1.1.3

Divida cada termo em $x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{(1 + V) (1 - V)} - V$ por $x$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.1

Divida cada termo em $x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{(1 + V) (1 - V)} - V$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V}{(1 + V) (1 - V)}}{x} + \frac{- V}{x}$

Etapa 6.1.1.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V}{(1 + V) (1 - V)}}{x} + \frac{- V}{x}$

Etapa 6.1.1.3.2.1.2

Divida $\frac{d V}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{(1 + V) (1 - V)}}{x} + \frac{- V}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{(1 + V) (1 - V)} - V}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.3.2.1

Fatore $V$ de $\frac{V}{(1 + V) (1 - V)} - V$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.3.2.1.1

Fatore $V$ de $\frac{V}{(1 + V) (1 - V)}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1}{(1 + V) (1 - V)} - V}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.2.1.2

Fatore $V$ de $- V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1}{(1 + V) (1 - V)} + V \cdot - 1}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.2.1.3

Fatore $V$ de $V \frac{1}{(1 + V) (1 - V)} + V \cdot - 1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (\frac{1}{(1 + V) (1 - V)} - 1)}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.2.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{(1 + V) (1 - V)}{(1 + V) (1 - V)}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (\frac{1}{(1 + V) (1 - V)} - 1 \cdot \frac{(1 + V) (1 - V)}{(1 + V) (1 - V)})}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.2.3

Combine $- 1$ e $\frac{(1 + V) (1 - V)}{(1 + V) (1 - V)}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (\frac{1}{(1 + V) (1 - V)} + \frac{- ((1 + V) (1 - V))}{(1 + V) (1 - V)})}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - ((1 + V) (1 - V))}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.3.2.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 + (- 1 \cdot 1 - V) (1 - V)}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.2.5.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 + (- 1 - V) (1 - V)}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.2.5.3

Expanda $(- 1 - V) (1 - V)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.3.2.5.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 (1 - V) - V (1 - V)}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.2.5.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 \cdot 1 - 1 (- V) - V (1 - V)}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.2.5.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 \cdot 1 - 1 (- V) - V \cdot 1 - V (- V)}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.2.5.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.3.2.5.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.3.2.5.4.1.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 - 1 (- V) - V \cdot 1 - V (- V)}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.2.5.4.1.2

Multiplique $- 1 (- V)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.3.2.5.4.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + 1 V - V \cdot 1 - V (- V)}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.2.5.4.1.2.2

Multiplique $V$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V \cdot 1 - V (- V)}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.2.5.4.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V - V (- V)}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.2.5.4.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V - 1 \cdot - 1 V \cdot V}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.2.5.4.1.5

Multiplique $V$ por $V$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.3.2.5.4.1.5.1

Mova $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V - 1 \cdot - 1 (V \cdot V)}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.2.5.4.1.5.2

Multiplique $V$ por $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V - 1 \cdot - 1 V^{2}}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.2.5.4.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V + 1 V^{2}}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.2.5.4.1.7

Multiplique $V^{2}$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V + V^{2}}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.2.5.4.2

Subtraia $V$ de $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + 0 + V^{2}}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.2.5.4.3

Some $- 1$ e $0$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V^{2}}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.2.5.5

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{0 + V^{2}}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.2.5.6

Some $0$ e $V^{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{V^{2}}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.3

Combine $V$ e $\frac{V^{2}}{(1 + V) (1 - V)}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot V^{2}}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.4

Multiplique $V$ por $V^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.3.4.1

Multiplique $V$ por $V^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.3.4.1.1

Eleve $V$ à potência de $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{1} V^{2}}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.4.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{1 + 2}}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.4.2

Some $1$ e $2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{3}}{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{(1 + V) (1 - V)} \cdot \frac{1}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.6

Combine.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{3} \cdot 1}{(1 + V) (1 - V) x}$

Etapa 6.1.1.3.3.7

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.3.7.1

Multiplique $V^{3}$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{(1 + V) (1 - V) x}$

Etapa 6.1.1.3.3.7.2

Reordene os fatores em $\frac{V^{3}}{(1 + V) (1 - V) x}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{x (1 + V) (1 - V)}$

Etapa 6.1.2

Reagrupe os fatores.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{3}}{(1 + V) (1 - V)} \cdot \frac{1}{x}$

Etapa 6.1.3

Multiplique os dois lados por $\frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}}$ .

$\frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}} (\frac{V^{3}}{(1 + V) (1 - V)} \cdot \frac{1}{x})$

Etapa 6.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.4.1

Combine.

$\frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}} \cdot \frac{V^{3} \cdot 1}{(1 + V) (1 - V) x}$

Etapa 6.1.4.2

Combine.

$\frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) (1 - V) (V^{3} \cdot 1)}{V^{3} ((1 + V) (1 - V) x)}$

Etapa 6.1.4.3

Cancele o fator comum de $1 + V$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.4.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) (1 - V) (V^{3} \cdot 1)}{V^{3} ((1 + V) (1 - V) x)}$

Etapa 6.1.4.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 - V) (V^{3} \cdot 1)}{V^{3} ((1 - V) x)}$

Etapa 6.1.4.4

Cancele o fator comum de $1 - V$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.4.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 - V) (V^{3} \cdot 1)}{V^{3} ((1 - V) x)}$

Etapa 6.1.4.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{V^{3} \cdot 1}{V^{3} (x)}$

Etapa 6.1.4.5

Cancele o fator comum de $V^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.4.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{V^{3} \cdot 1}{V^{3} x}$

Etapa 6.1.4.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Etapa 6.1.5

Reescreva a equação.

$\frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}} d V = \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{(1 + V) (1 - V)}{V^{3}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Mova $V^{3}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int (1 + V) (1 - V) {(V^{3})}^{- 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.2

Multiplique os expoentes em ${(V^{3})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (1 + V) (1 - V) V^{3 \cdot - 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.2.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\int (1 + V) (1 - V) V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.3

Expanda $(1 + V) (1 - V) V^{- 3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int (1 (1 - V) + V (1 - V)) V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\int (1 \cdot 1 + 1 (- V) + V (1 - V)) V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\int (1 \cdot 1 + 1 (- V) + V \cdot 1 + V (- V)) V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\int (1 \cdot 1 + 1 (- V)) V^{- 3} + (V \cdot 1 + V (- V)) V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.3.5

Aplique a propriedade distributiva.

$\int 1 \cdot 1 V^{- 3} + 1 (- V) V^{- 3} + (V \cdot 1 + V (- V)) V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.3.6

Aplique a propriedade distributiva.

$\int 1 \cdot 1 V^{- 3} + 1 (- V) V^{- 3} + V \cdot 1 V^{- 3} + V (- V) V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.3.7

Reordene $V$ e $1$ .

$\int 1 \cdot 1 V^{- 3} + 1 \cdot - 1 V \cdot V^{- 3} + 1 \cdot V \cdot V^{- 3} + V (- V) V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.3.8

Reordene $V$ e $- 1$ .

$\int 1 \cdot 1 V^{- 3} + 1 \cdot - 1 V \cdot V^{- 3} + 1 \cdot V \cdot V^{- 3} - 1 \cdot V \cdot V \cdot V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.3.9

Multiplique $1$ por $1$ .

$\int 1 V^{- 3} + 1 \cdot - 1 V \cdot V^{- 3} + 1 V \cdot V^{- 3} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.3.10

Multiplique $V^{- 3}$ por $1$ .

$\int V^{- 3} + 1 \cdot - 1 V \cdot V^{- 3} + 1 V \cdot V^{- 3} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.3.11

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\int V^{- 3} - V \cdot V^{- 3} + 1 V \cdot V^{- 3} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.3.12

Fatore o negativo.

$\int V^{- 3} - (V \cdot V^{- 3}) + 1 V \cdot V^{- 3} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.3.13

Eleve $V$ à potência de $1$ .

$\int V^{- 3} - (V^{1} V^{- 3}) + 1 V \cdot V^{- 3} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.3.14

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int V^{- 3} - V^{1 - 3} + 1 V \cdot V^{- 3} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.3.15

Subtraia $3$ de $1$ .

$\int V^{- 3} - V^{- 2} + 1 V \cdot V^{- 3} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.3.16

Multiplique $V$ por $1$ .

$\int V^{- 3} - V^{- 2} + V \cdot V^{- 3} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.3.17

Eleve $V$ à potência de $1$ .

$\int V^{- 3} - V^{- 2} + V^{1} V^{- 3} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.3.18

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int V^{- 3} - V^{- 2} + V^{1 - 3} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.3.19

Subtraia $3$ de $1$ .

$\int V^{- 3} - V^{- 2} + V^{- 2} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.3.20

Fatore o negativo.

$\int V^{- 3} - V^{- 2} + V^{- 2} - (V \cdot V) V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.3.21

Eleve $V$ à potência de $1$ .

$\int V^{- 3} - V^{- 2} + V^{- 2} - (V^{1} V) V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.3.22

Eleve $V$ à potência de $1$ .

$\int V^{- 3} - V^{- 2} + V^{- 2} - (V^{1} V^{1}) V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.3.23

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int V^{- 3} - V^{- 2} + V^{- 2} - V^{1 + 1} V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.3.24

Some $1$ e $1$ .

$\int V^{- 3} - V^{- 2} + V^{- 2} - V^{2} V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.3.25

Fatore o negativo.

$\int V^{- 3} - V^{- 2} + V^{- 2} - (V^{2} V^{- 3}) d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.3.26

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int V^{- 3} - V^{- 2} + V^{- 2} - V^{2 - 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.3.27

Subtraia $3$ de $2$ .

$\int V^{- 3} - V^{- 2} + V^{- 2} - V^{- 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.3.28

Some $- V^{- 2}$ e $V^{- 2}$ .

$\int V^{- 3} + 0 - V^{- 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.3.29

Subtraia $V^{- 1}$ de $0$ .

$\int V^{- 3} - V^{- 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.3.30

Reordene $V^{- 3}$ e $- V^{- 1}$ .

$\int - V^{- 1} + V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int - V^{- 1} d V + \int V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.5

Como $- 1$ é constante com relação a $V$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int V^{- 1} d V + \int V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.6

A integral de $V^{- 1}$ com relação a $V$ é $\ln (| V |)$ .

$- (\ln (| V |) + C_{1}) + \int V^{- 3} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $V^{- 3}$ com relação a $V$ é $- \frac{1}{2} V^{- 2}$ .

$- (\ln (| V |) + C_{1}) - \frac{1}{2} V^{- 2} + C_{2} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.8.1

Simplifique.

$- \ln (| V |) - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{V^{2}} + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.8.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.8.2.1

Multiplique $\frac{1}{V^{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \ln (| V |) - \frac{1}{V^{2} \cdot 2} + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.8.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $V^{2}$ .

$- \ln (| V |) - \frac{1}{2 V^{2}} + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.9

Reordene os termos.

$- \frac{1}{2 V^{2}} - \ln (| V |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.3

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{2 V^{2}} - \ln (| V |) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4}$

Etapa 6.2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$- \frac{1}{2 V^{2}} - \ln (| V |) = \ln (| x |) + C$

Etapa 7

Substitua $\frac{y}{x}$ por $V$ .

$- \frac{1}{2 {(\frac{y}{x})}^{2}} - \ln (| \frac{y}{x} |) = \ln (| x |) + C$

Etapa 8

Resolva $- \frac{1}{2 {(\frac{y}{x})}^{2}} - \ln (| \frac{y}{x} |) = \ln (| x |) + C$ para $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$- \ln (| \frac{y}{x} |) - \ln (| x |) = \frac{1}{2 {(\frac{y}{x})}^{2}} + C$

Etapa 8.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Aplique a regra do produto a $\frac{y}{x}$ .

$- \ln (| \frac{y}{x} |) - \ln (| x |) = \frac{1}{2 (\frac{y^{2}}{x^{2}})} + C$

Etapa 8.2.2

Combine $2$ e $\frac{y^{2}}{x^{2}}$ .

$- \ln (| \frac{y}{x} |) - \ln (| x |) = \frac{1}{\frac{2 y^{2}}{x^{2}}} + C$

Etapa 8.2.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- \ln (| \frac{y}{x} |) - \ln (| x |) = 1 (\frac{x^{2}}{2 y^{2}}) + C$

Etapa 8.2.4

Multiplique $\frac{x^{2}}{2 y^{2}}$ por $1$ .

$- \ln (| \frac{y}{x} |) - \ln (| x |) = \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + C$

Etapa 8.3

Divida cada termo em $- \ln (| \frac{y}{x} |) = \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + C + \ln (| x |)$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Divida cada termo em $- \ln (| \frac{y}{x} |) = \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + C + \ln (| x |)$ por $- 1$ .

$\frac{- \ln (| \frac{y}{x} |)}{- 1} = \frac{\frac{x^{2}}{2 y^{2}}}{- 1} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Etapa 8.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\ln (| \frac{y}{x} |)}{1} = \frac{\frac{x^{2}}{2 y^{2}}}{- 1} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Etapa 8.3.2.2

Divida $\ln (| \frac{y}{x} |)$ por $1$ .

$\ln (| \frac{y}{x} |) = \frac{\frac{x^{2}}{2 y^{2}}}{- 1} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Etapa 8.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.3.1.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{\frac{x^{2}}{2 y^{2}}}{- 1}$ .

$\ln (| \frac{y}{x} |) = - 1 \cdot \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Etapa 8.3.3.1.2

Reescreva $- 1 \cdot \frac{x^{2}}{2 y^{2}}$ como $- \frac{x^{2}}{2 y^{2}}$ .

$\ln (| \frac{y}{x} |) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Etapa 8.3.3.1.3

Mova o número negativo do denominador de $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| \frac{y}{x} |) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} - 1 \cdot C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Etapa 8.3.3.1.4

Reescreva $- 1 \cdot C$ como $- C$ .

$\ln (| \frac{y}{x} |) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} - C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Etapa 8.3.3.1.5

Mova o número negativo do denominador de $\frac{\ln (| x |)}{- 1}$ .

$\ln (| \frac{y}{x} |) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} - C - 1 \cdot \ln (| x |)$

Etapa 8.3.3.1.6

Reescreva $- 1 \cdot \ln (| x |)$ como $- \ln (| x |)$ .

$\ln (| \frac{y}{x} |) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} - C - \ln (| x |)$

Etapa 8.4

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (| \frac{y}{x} |) + \ln (| x |) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} - C$

Etapa 8.5

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| \frac{y}{x} | | x |) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} - C$

Etapa 8.6

Multiplique $| \frac{y}{x} | | x |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.6.1

Para multiplicar valores absolutos, multiplique os termos dentro de cada um deles.

$\ln (| \frac{y}{x} \cdot x |) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} - C$

Etapa 8.6.2

Combine $\frac{y}{x}$ e $x$ .

$\ln (| \frac{y x}{x} |) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} - C$

Etapa 8.7

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.7.1

Cancele o fator comum.

$\ln (| \frac{y x}{x} |) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} - C$

Etapa 8.7.2

Divida $y$ por $1$ .

$\ln (| y |) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} - C$