Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \csc (x)$ , $y (1) = - 6$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = \csc (x) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int \csc (x) d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int \csc (x) d x$

Etapa 2.3

A integral de $\csc (x)$ com relação a $x$ é $\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ .

$y + C_{1} = \ln (| \csc (x) - \cot (x) |) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$y = \ln (| \csc (x) - \cot (x) |) + C$

Etapa 3

Use a condição inicial para encontrar o valor de $C$ , substituindo $1$ por $x$ e $- 6$ por $y$ em $y = \ln (| \csc (x) - \cot (x) |) + C$ .

$- 6 = \ln (| \csc (1) - \cot (1) |) + C$

Etapa 4

Resolva $C$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como $\ln (| \csc (1) - \cot (1) |) + C = - 6$ .

$\ln (| \csc (1) - \cot (1) |) + C = - 6$

Etapa 4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1.1

Avalie $\csc (1)$ .

$\ln (| 57.29868849 - \cot (1) |) + C = - 6$

Etapa 4.2.1.1.2

Avalie $\cot (1)$ .

$\ln (| 57.29868849 - 1 \cdot 57.28996163 |) + C = - 6$

Etapa 4.2.1.1.3

Multiplique $- 1$ por $57.28996163$ .

$\ln (| 57.29868849 - 57.28996163 |) + C = - 6$

Etapa 4.2.1.2

Subtraia $57.28996163$ de $57.29868849$ .

$\ln (| 0.00872686 |) + C = - 6$

Etapa 4.2.1.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $0.00872686$ é $0.00872686$ .

$\ln (0.00872686) + C = - 6$

Etapa 4.3

Subtraia $\ln (0.00872686)$ dos dois lados da equação.

$C = - 6 - \ln (0.00872686)$

Etapa 5

Substitua $- 6 - \ln (0.00872686)$ por $C$ em $y = \ln (| \csc (x) - \cot (x) |) + C$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Substitua $- 6 - \ln (0.00872686)$ por $C$ .

$y = \ln (| \csc (x) - \cot (x) |) - 6 - \ln (0.00872686)$

Etapa 5.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$y = \ln (\frac{| \csc (x) - \cot (x) |}{0.00872686}) - 6$

Etapa 5.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.1

Multiplique por $1$ .

$y = \ln (\frac{1 | \csc (x) - \cot (x) |}{0.00872686}) - 6$

Etapa 5.3.2

Fatore $0.00872686$ de $0.00872686$ .

$y = \ln (\frac{1 | \csc (x) - \cot (x) |}{0.00872686 (1)}) - 6$

Etapa 5.3.3

Separe as frações.

$y = \ln (\frac{1}{0.00872686} \cdot \frac{| \csc (x) - \cot (x) |}{1}) - 6$

Etapa 5.3.4

Divida $1$ por $0.00872686$ .

$y = \ln (114.58865012 \frac{| \csc (x) - \cot (x) |}{1}) - 6$

Etapa 5.3.5

Divida $| \csc (x) - \cot (x) |$ por $1$ .

$y = \ln (114.58865012 | \csc (x) - \cot (x) |) - 6$