Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 (1 + 3 y)}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{1 + 3 y}$ .

$\frac{1}{1 + 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + 3 y} \cdot \frac{6 (1 + 3 y)}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $1 + 3 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Fatore $1 + 3 y$ de $6 (1 + 3 y)$ .

$\frac{1}{1 + 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + 3 y} \cdot \frac{(1 + 3 y) \cdot 6}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Etapa 1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{1 + 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + 3 y} \cdot \frac{(1 + 3 y) \cdot 6}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Etapa 1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{1 + 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{{(1 + 2 x)}^{2}}$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{1 + 3 y} d y = \frac{6}{{(1 + 2 x)}^{2}} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{1 + 3 y} d y = \int \frac{6}{{(1 + 2 x)}^{2}} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Deixe $u_{1} = 1 + 3 y$ . Depois, $d u_{1} = 3 d y$ , então, $\frac{1}{3} d u_{1} = d y$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Deixe $u_{1} = 1 + 3 y$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.1

Diferencie $1 + 3 y$ .

$\frac{d}{d y} [1 + 3 y]$

Etapa 2.2.1.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + 3 y$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [3 y]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [3 y]$

Etapa 2.2.1.1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [3 y]$

Etapa 2.2.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [3 y]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.3.1

Como $3$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $3 y$ em relação a $y$ é $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + 3 \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.2.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 + 3 \cdot 1$

Etapa 2.2.1.1.3.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$0 + 3$

Etapa 2.2.1.1.4

Some $0$ e $3$ .

$3$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1} = \int \frac{6}{{(1 + 2 x)}^{2}} d x$

Etapa 2.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Multiplique $\frac{1}{u_{1}}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 3} d u_{1} = \int \frac{6}{{(1 + 2 x)}^{2}} d x$

Etapa 2.2.2.2

Mova $3$ para a esquerda de $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{3 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{6}{{(1 + 2 x)}^{2}} d x$

Etapa 2.2.3

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{6}{{(1 + 2 x)}^{2}} d x$

Etapa 2.2.4

A integral de $\frac{1}{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{6}{{(1 + 2 x)}^{2}} d x$

Etapa 2.2.5

Simplifique.

$\frac{1}{3} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{6}{{(1 + 2 x)}^{2}} d x$

Etapa 2.2.6

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $1 + 3 y$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 y |) + C_{1} = \int \frac{6}{{(1 + 2 x)}^{2}} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $6$ é constante com relação a $x$ , mova $6$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 y |) + C_{1} = 6 \int \frac{1}{{(1 + 2 x)}^{2}} d x$

Etapa 2.3.2

Deixe $u_{2} = 1 + 2 x$ . Depois, $d u_{2} = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Deixe $u_{2} = 1 + 2 x$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1

Diferencie $1 + 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

Etapa 2.3.2.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.3.2.1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.3.2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 + 2 \cdot 1$

Etapa 2.3.2.1.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$0 + 2$

Etapa 2.3.2.1.4

Some $0$ e $2$ .

$2$

Etapa 2.3.2.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 y |) + C_{1} = 6 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 2.3.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Multiplique $\frac{1}{{u_{2}}^{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 y |) + C_{1} = 6 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2} \cdot 2} d u_{2}$

Etapa 2.3.3.2

Mova $2$ para a esquerda de ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 y |) + C_{1} = 6 \int \frac{1}{2 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Etapa 2.3.4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 y |) + C_{1} = 6 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2})$

Etapa 2.3.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $6$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 y |) + C_{1} = \frac{6}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Etapa 2.3.5.1.2

Cancele o fator comum de $6$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Etapa 2.3.5.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Etapa 2.3.5.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Etapa 2.3.5.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 y |) + C_{1} = \frac{3}{1} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Etapa 2.3.5.1.2.2.4

Divida $3$ por $1$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 y |) + C_{1} = 3 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Etapa 2.3.5.2

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.2.1

Mova ${u_{2}}^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 y |) + C_{1} = 3 \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

Etapa 2.3.5.2.2

Multiplique os expoentes em ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 y |) + C_{1} = 3 \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

Etapa 2.3.5.2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 y |) + C_{1} = 3 \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Etapa 2.3.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de ${u_{2}}^{- 2}$ com relação a $u_{2}$ é $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 y |) + C_{1} = 3 (- {u_{2}}^{- 1} + C_{2})$

Etapa 2.3.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.7.1

Reescreva $3 (- {u_{2}}^{- 1} + C_{2})$ como $3 (- \frac{1}{u_{2}}) + C_{2}$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 y |) + C_{1} = 3 (- \frac{1}{u_{2}}) + C_{2}$

Etapa 2.3.7.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.7.2.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 y |) + C_{1} = - 3 \frac{1}{u_{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.7.2.2

Combine $- 3$ e $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 y |) + C_{1} = \frac{- 3}{u_{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.7.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 y |) + C_{1} = - \frac{3}{u_{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.8

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $1 + 2 x$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 y |) + C_{1} = - \frac{3}{1 + 2 x} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 y |) = - \frac{3}{1 + 2 x} + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Multiplique os dois lados da equação por $3$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 y |)) = 3 (- \frac{3}{1 + 2 x} + C)$

Etapa 3.2

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Simplifique $3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 y |))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $\ln (| 1 + 3 y |)$ .

$3 \frac{\ln (| 1 + 3 y |)}{3} = 3 (- \frac{3}{1 + 2 x} + C)$

Etapa 3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$3 \frac{\ln (| 1 + 3 y |)}{3} = 3 (- \frac{3}{1 + 2 x} + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\ln (| 1 + 3 y |) = 3 (- \frac{3}{1 + 2 x} + C)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Simplifique $3 (- \frac{3}{1 + 2 x} + C)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Para escrever $C$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{1 + 2 x}{1 + 2 x}$ .

$\ln (| 1 + 3 y |) = 3 (- \frac{3}{1 + 2 x} + \frac{C (1 + 2 x)}{1 + 2 x})$

Etapa 3.2.2.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\ln (| 1 + 3 y |) = 3 \frac{- 3 + C (1 + 2 x)}{1 + 2 x}$

Etapa 3.2.2.1.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (| 1 + 3 y |) = 3 \frac{- 3 + C \cdot 1 + C (2 x)}{1 + 2 x}$

Etapa 3.2.2.1.3.2

Multiplique $C$ por $1$ .

$\ln (| 1 + 3 y |) = 3 \frac{- 3 + C + C (2 x)}{1 + 2 x}$

Etapa 3.2.2.1.3.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\ln (| 1 + 3 y |) = 3 \frac{- 3 + C + 2 C x}{1 + 2 x}$

Etapa 3.2.2.1.4

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.4.1

Combine $3$ e $\frac{- 3 + C + 2 C x}{1 + 2 x}$ .

$\ln (| 1 + 3 y |) = \frac{3 (- 3 + C + 2 C x)}{1 + 2 x}$

Etapa 3.2.2.1.4.2

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$\ln (| 1 + 3 y |) = \frac{3 (- 1 (3) + C + 2 C x)}{1 + 2 x}$

Etapa 3.2.2.1.4.3

Fatore $- 1$ de $C$ .

$\ln (| 1 + 3 y |) = \frac{3 (- 1 (3) - 1 (- C) + 2 C x)}{1 + 2 x}$

Etapa 3.2.2.1.4.4

Fatore $- 1$ de $- 1 (3) - 1 (- C)$ .

$\ln (| 1 + 3 y |) = \frac{3 (- 1 (3 - C) + 2 C x)}{1 + 2 x}$

Etapa 3.2.2.1.4.5

Fatore $- 1$ de $2 C x$ .

$\ln (| 1 + 3 y |) = \frac{3 (- 1 (3 - C) - (- 2 C x))}{1 + 2 x}$

Etapa 3.2.2.1.4.6

Fatore $- 1$ de $- 1 (3 - C) - (- 2 C x)$ .

$\ln (| 1 + 3 y |) = \frac{3 (- 1 (3 - C - 2 C x))}{1 + 2 x}$

Etapa 3.2.2.1.4.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\ln (| 1 + 3 y |) = - \frac{3 (3 - C - 2 C x)}{1 + 2 x}$

Etapa 3.3

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| 1 + 3 y |)} = e^{- \frac{3 (3 - C - 2 C x)}{1 + 2 x}}$

Etapa 3.4

Reescreva $\ln (| 1 + 3 y |) = - \frac{3 (3 - C - 2 C x)}{1 + 2 x}$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{3 (3 - C - 2 C x)}{1 + 2 x}} = | 1 + 3 y |$

Etapa 3.5

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Reescreva a equação como $| 1 + 3 y | = e^{- \frac{3 (3 - C - 2 C x)}{1 + 2 x}}$ .

$| 1 + 3 y | = e^{- \frac{3 (3 - C - 2 C x)}{1 + 2 x}}$

Etapa 3.5.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$1 + 3 y = \pm e^{- \frac{3 (3 - C - 2 C x)}{1 + 2 x}}$

Etapa 3.5.3

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$3 y = \pm e^{- \frac{3 (3 - C - 2 C x)}{1 + 2 x}} - 1$

Etapa 3.5.4

Divida cada termo em $3 y = \pm e^{- \frac{3 (3 - C - 2 C x)}{1 + 2 x}} - 1$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.1

Divida cada termo em $3 y = \pm e^{- \frac{3 (3 - C - 2 C x)}{1 + 2 x}} - 1$ por $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{\pm e^{- \frac{3 (3 - C - 2 C x)}{1 + 2 x}}}{3} + \frac{- 1}{3}$

Etapa 3.5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\pm e^{- \frac{3 (3 - C - 2 C x)}{1 + 2 x}}}{3} + \frac{- 1}{3}$

Etapa 3.5.4.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\pm e^{- \frac{3 (3 - C - 2 C x)}{1 + 2 x}}}{3} + \frac{- 1}{3}$

Etapa 3.5.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{\pm e^{- \frac{3 (3 - C - 2 C x)}{1 + 2 x}} - 1}{3}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{\pm e^{- \frac{3 (C + C x)}{1 + 2 x}} - 1}{3}$