Cálculo Exemplos

$(y + 1) d x - (1 - x) d y = 0$

Etapa 1

Subtraia $(y + 1) d x$ dos dois lados da equação.

$- (1 - x) d y = - (y + 1) d x$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{(1 - x) (y + 1)}$ .

$\frac{1}{(1 - x) (y + 1)} (- (1 - x)) d y = \frac{1}{(1 - x) (y + 1)} (- (y + 1)) d x$

Etapa 3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- \frac{1}{(1 - x) (y + 1)} (1 - x) d y = \frac{1}{(1 - x) (y + 1)} (- (y + 1)) d x$

Etapa 3.2

Cancele o fator comum de $1 - x$ .

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Etapa 3.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{(1 - x) (y + 1)}$ para o numerador.

$\frac{- 1}{(1 - x) (y + 1)} (1 - x) d y = \frac{1}{(1 - x) (y + 1)} (- (y + 1)) d x$

Etapa 3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1}{(1 - x) (y + 1)} (1 - x) d y = \frac{1}{(1 - x) (y + 1)} (- (y + 1)) d x$

Etapa 3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1}{y + 1} d y = \frac{1}{(1 - x) (y + 1)} (- (y + 1)) d x$

Etapa 3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{1}{(1 - x) (y + 1)} (- (y + 1)) d x$

Etapa 3.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- \frac{1}{y + 1} d y = - \frac{1}{(1 - x) (y + 1)} (y + 1) d x$

Etapa 3.5

Cancele o fator comum de $y + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{(1 - x) (y + 1)}$ para o numerador.

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 1}{(1 - x) (y + 1)} (y + 1) d x$

Etapa 3.5.2

Fatore $y + 1$ de $(1 - x) (y + 1)$ .

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 1}{(y + 1) (1 - x)} (y + 1) d x$

Etapa 3.5.3

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 1}{(y + 1) (1 - x)} (y + 1) d x$

Etapa 3.5.4

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 1}{1 - x} d x$

Etapa 3.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{y + 1} d y = - \frac{1}{1 - x} d x$

Etapa 4

Integre os dois lados.

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Etapa 4.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int - \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{1}{1 - x} d x$

Etapa 4.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{1}{1 - x} d x$

Etapa 4.2.2

Deixe $u_{1} = y + 1$ . Depois, $d u_{1} = d y$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 4.2.2.1

Deixe $u_{1} = y + 1$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Etapa 4.2.2.1.1

Diferencie $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Etapa 4.2.2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y + 1$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 4.2.2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 4.2.2.1.4

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 4.2.2.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 4.2.2.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$- \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{1}{1 - x} d x$

Etapa 4.2.3

A integral de $\frac{1}{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $\ln (| u_{1} |)$ .

$- (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int - \frac{1}{1 - x} d x$

Etapa 4.2.4

Simplifique.

$- \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{1 - x} d x$

Etapa 4.2.5

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $y + 1$ .

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int - \frac{1}{1 - x} d x$

Etapa 4.3

Integre o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{1 - x} d x$

Etapa 4.3.2

Deixe $u_{2} = 1 - x$ . Depois, $d u_{2} = - d x$ , então, $- d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 4.3.2.1

Deixe $u_{2} = 1 - x$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 4.3.2.1.1

Reescreva.

$\frac{- 1}{1}$

Etapa 4.3.2.1.2

Divida $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 4.3.2.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 4.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 4.3.4

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 4.3.5

Simplifique.

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Etapa 4.3.5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = 1 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 4.3.5.2

Multiplique $\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$ por $1$ .

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 4.3.6

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Etapa 4.3.7

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $1 - x$ .

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = \ln (| 1 - x |) + C_{2}$

Etapa 4.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$- \ln (| y + 1 |) = \ln (| 1 - x |) + C$

Etapa 5

Resolva $y$ .

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Etapa 5.1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$- \ln (| y + 1 |) - \ln (| 1 - x |) = C$

Etapa 5.2

Some $\ln (| 1 - x |)$ aos dois lados da equação.

$- \ln (| y + 1 |) = C + \ln (| 1 - x |)$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $- \ln (| y + 1 |) = C + \ln (| 1 - x |)$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $- \ln (| y + 1 |) = C + \ln (| 1 - x |)$ por $- 1$ .

$\frac{- \ln (| y + 1 |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| 1 - x |)}{- 1}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\ln (| y + 1 |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| 1 - x |)}{- 1}$

Etapa 5.3.2.2

Divida $\ln (| y + 1 |)$ por $1$ .

$\ln (| y + 1 |) = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| 1 - x |)}{- 1}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.3.1.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| y + 1 |) = - 1 \cdot C + \frac{\ln (| 1 - x |)}{- 1}$

Etapa 5.3.3.1.2

Reescreva $- 1 \cdot C$ como $- C$ .

$\ln (| y + 1 |) = - C + \frac{\ln (| 1 - x |)}{- 1}$

Etapa 5.3.3.1.3

Mova o número negativo do denominador de $\frac{\ln (| 1 - x |)}{- 1}$ .

$\ln (| y + 1 |) = - C - 1 \cdot \ln (| 1 - x |)$

Etapa 5.3.3.1.4

Reescreva $- 1 \cdot \ln (| 1 - x |)$ como $- \ln (| 1 - x |)$ .

$\ln (| y + 1 |) = - C - \ln (| 1 - x |)$

Etapa 5.4

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (| y + 1 |) + \ln (| 1 - x |) = - C$

Etapa 5.5

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y + 1 | | 1 - x |) = - C$

Etapa 5.6

Para multiplicar valores absolutos, multiplique os termos dentro de cada um deles.

$\ln (| (y + 1) (1 - x) |) = - C$

Etapa 5.7

Expanda $(y + 1) (1 - x)$ usando o método FOIL.

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Etapa 5.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (| y (1 - x) + 1 (1 - x) |) = - C$

Etapa 5.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (| y \cdot 1 + y (- x) + 1 (1 - x) |) = - C$

Etapa 5.7.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (| y \cdot 1 + y (- x) + 1 \cdot 1 + 1 (- x) |) = - C$

Etapa 5.8

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.8.1

Multiplique $y$ por $1$ .

$\ln (| y + y (- x) + 1 \cdot 1 + 1 (- x) |) = - C$

Etapa 5.8.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\ln (| y - y x + 1 \cdot 1 + 1 (- x) |) = - C$

Etapa 5.8.3

Multiplique $1$ por $1$ .

$\ln (| y - y x + 1 + 1 (- x) |) = - C$

Etapa 5.8.4

Multiplique $- x$ por $1$ .

$\ln (| y - y x + 1 - x |) = - C$

Etapa 5.9

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| y - y x + 1 - x |)} = e^{- C}$

Etapa 5.10

Reescreva $\ln (| y - y x + 1 - x |) = - C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = | y - y x + 1 - x |$

Etapa 5.11

Resolva $y$ .

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Etapa 5.11.1

Reescreva a equação como $| y - y x + 1 - x | = e^{- C}$ .

$| y - y x + 1 - x | = e^{- C}$

Etapa 5.11.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$y - y x + 1 - x = \pm e^{- C}$

Etapa 5.11.3

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.11.3.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$y - y x - x = \pm e^{- C} - 1$

Etapa 5.11.3.2

Some $x$ aos dois lados da equação.

$y - y x = \pm e^{- C} - 1 + x$

Etapa 5.11.4

Fatore $y$ de $y - y x$ .

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Etapa 5.11.4.1

Fatore $y$ de $y^{1}$ .

$y \cdot 1 - y x = \pm e^{- C} - 1 + x$

Etapa 5.11.4.2

Fatore $y$ de $- y x$ .

$y \cdot 1 + y (- 1 x) = \pm e^{- C} - 1 + x$

Etapa 5.11.4.3

Fatore $y$ de $y \cdot 1 + y (- 1 x)$ .

$y (1 - 1 x) = \pm e^{- C} - 1 + x$

Etapa 5.11.5

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$y (1 - x) = \pm e^{- C} - 1 + x$

Etapa 5.11.6

Divida cada termo em $y (1 - x) = \pm e^{- C} - 1 + x$ por $1 - x$ e simplifique.

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Etapa 5.11.6.1

Divida cada termo em $y (1 - x) = \pm e^{- C} - 1 + x$ por $1 - x$ .

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{\pm e^{- C}}{1 - x} + \frac{- 1}{1 - x} + \frac{x}{1 - x}$

Etapa 5.11.6.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.11.6.2.1

Cancele o fator comum de $1 - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.11.6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{\pm e^{- C}}{1 - x} + \frac{- 1}{1 - x} + \frac{x}{1 - x}$

Etapa 5.11.6.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{1 - x} + \frac{- 1}{1 - x} + \frac{x}{1 - x}$

Etapa 5.11.6.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.11.6.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = \frac{\pm e^{- C}}{1 - x} - \frac{1}{1 - x} + \frac{x}{1 - x}$

Etapa 5.11.6.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{\pm e^{- C} - 1}{1 - x} + \frac{x}{1 - x}$

Etapa 5.11.6.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{\pm e^{- C} - 1 + x}{1 - x}$

Etapa 6

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{C + x}{1 - x}$