Cálculo Exemplos

$x^{2} d x + (x y - y) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = x^{2}$ .

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Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Etapa 1.2

Como $x^{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x^{2}$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = x y - y$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y - y]$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x y - y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $x y$ em relação a $x$ é $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $y$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + \frac{d}{d x} [- y]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.4.1

Como $- y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- y$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + 0$

Etapa 2.4.2

Some $y$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $0$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $y$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$0 = y$

Etapa 3.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$0 = y$ não é uma identidade.

Etapa 4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Etapa 4.1

Substitua $0$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{0 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Etapa 4.2

Substitua $y$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{0 - y}{N}$

Etapa 4.3

Substitua $x y - y$ por $N$ .

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Etapa 4.3.1

Substitua $x y - y$ por $N$ .

$\frac{0 - y}{x y - y}$

Etapa 4.3.2

Subtraia $y$ de $0$ .

$\frac{- y}{x y - y}$

Etapa 4.3.3

Fatore $y$ de $x y - y$ .

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Etapa 4.3.3.1

Fatore $y$ de $x y$ .

$\frac{- y}{y x - y}$

Etapa 4.3.3.2

Fatore $y$ de $- y$ .

$\frac{- y}{y x + y \cdot - 1}$

Etapa 4.3.3.3

Fatore $y$ de $y x + y \cdot - 1$ .

$\frac{- y}{y (x - 1)}$

Etapa 4.3.4

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 4.3.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- y}{y (x - 1)}$

Etapa 4.3.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1}{x - 1}$

Etapa 4.3.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{x - 1}$

Etapa 4.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{x - 1} d x}$

Etapa 5

Avalie a integral $e^{\int - \frac{1}{x - 1} d x}$ .

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Etapa 5.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{x - 1} d x}$

Etapa 5.2

Deixe $u = x - 1$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 5.2.1

Deixe $u = x - 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 5.2.1.1

Diferencie $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 5.2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 5.2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 5.2.1.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 5.2.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 5.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{u} d u}$

Etapa 5.3

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| u |) + C)}$

Etapa 5.4

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| u |)} + C$

Etapa 5.5

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 1$ .

$μ (x, y) = e^{- \ln (| x - 1 |)} + C$

Etapa 5.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.6.1

Simplifique $- \ln (| x - 1 |)$ movendo $- 1$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x - 1 |}^{- 1})} + C$

Etapa 5.6.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = {| x - 1 |}^{- 1} + C$

Etapa 5.6.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| x - 1 |} + C$

Etapa 6

Multiplique ambos os lados de $x^{2} d x + (x y - y) d y = 0$ pelo fator de integração $\frac{1}{x - 1}$ .

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Etapa 6.1

Multiplique $x^{2}$ por $\frac{1}{x - 1}$ .

$x^{2} \frac{1}{x - 1} d x + (x y - y) d y = 0$

Etapa 6.2

Combine $x^{2}$ e $\frac{1}{x - 1}$ .

$\frac{x^{2}}{x - 1} d x + (x y - y) d y = 0$

Etapa 6.3

Multiplique $x y - y$ por $\frac{1}{x - 1}$ .

$\frac{x^{2}}{x - 1} d x + (x y - y) \frac{1}{x - 1} d y = 0$

Etapa 6.4

Multiplique $x y - y$ por $\frac{1}{x - 1}$ .

$\frac{x^{2}}{x - 1} d x + \frac{x y - y}{x - 1} d y = 0$

Etapa 6.5

Fatore $y$ de $x y - y$ .

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Etapa 6.5.1

Fatore $y$ de $x y$ .

$\frac{x^{2}}{x - 1} d x + \frac{y x - y}{x - 1} d y = 0$

Etapa 6.5.2

Fatore $y$ de $- y$ .

$\frac{x^{2}}{x - 1} d x + \frac{y x + y \cdot - 1}{x - 1} d y = 0$

Etapa 6.5.3

Fatore $y$ de $y x + y \cdot - 1$ .

$\frac{x^{2}}{x - 1} d x + \frac{y (x - 1)}{x - 1} d y = 0$

Etapa 6.6

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

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Etapa 6.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{2}}{x - 1} d x + \frac{y (x - 1)}{x - 1} d y = 0$

Etapa 6.6.2

Divida $y$ por $1$ .

$\frac{x^{2}}{x - 1} d x + y d y = 0$

Etapa 7

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y d y$

Etapa 8

Integre $N (x, y) = y$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 8.1

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + C$

Etapa 9

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$

Etapa 10

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x^{2}}{x - 1}$

Etapa 11

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Etapa 11.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2} + g (x)] = \frac{x^{2}}{x - 1}$

Etapa 11.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2}}{x - 1}$

Etapa 11.3

Como $\frac{1}{2} y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{2} y^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2}}{x - 1}$

Etapa 11.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$0 + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{2}}{x - 1}$

Etapa 11.5

Some $0$ e $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{x^{2}}{x - 1}$

Etapa 12

Encontre a antiderivada de $\frac{x^{2}}{x - 1}$ para encontrar $g (x)$ .

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Etapa 12.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = \frac{x^{2}}{x - 1}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{x^{2}}{x - 1} d x$

Etapa 12.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{x^{2}}{x - 1} d x$

Etapa 12.3

Divida $x^{2}$ por $x - 1$ .

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Etapa 12.3.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Etapa 12.3.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$x$
	$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

Etapa 12.3.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	-	$x$

Etapa 12.3.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{2} - x$ .

				$x$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$

Etapa 12.3.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$

Etapa 12.3.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$	+	$0$

Etapa 12.3.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$	+	$0$

Etapa 12.3.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$	+	$0$
					+	$x$	-	$1$

Etapa 12.3.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x - 1$ .

				$x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$	+	$0$
					-	$x$	+	$1$

Etapa 12.3.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$	+	$0$
					-	$x$	+	$1$
							+	$1$

Etapa 12.3.11

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$g (x) = \int x + 1 + \frac{1}{x - 1} d x$

Etapa 12.4

Divida a integral única em várias integrais.

$g (x) = \int x d x + \int d x + \int \frac{1}{x - 1} d x$

Etapa 12.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C + \int d x + \int \frac{1}{x - 1} d x$

Etapa 12.6

Aplique a regra da constante.

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C + x + C + \int \frac{1}{x - 1} d x$

Etapa 12.7

Deixe $u = x - 1$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 12.7.1

Deixe $u = x - 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 12.7.1.1

Diferencie $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 12.7.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 12.7.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 12.7.1.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 12.7.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 12.7.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C + x + C + \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 12.8

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C + x + C + \ln (| u |) + C$

Etapa 12.9

Simplifique.

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + x + \ln (| u |) + C$

Etapa 12.10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 1$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + x + \ln (| x - 1 |) + C$

Etapa 13

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} x^{2} + x + \ln (| x - 1 |) + C$

Etapa 14

Simplifique $f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} x^{2} + x + \ln (| x - 1 |) + C$ .

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Etapa 14.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 14.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} + \frac{1}{2} x^{2} + x + \ln (| x - 1 |) + C$

Etapa 14.1.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} + \frac{x^{2}}{2} + x + \ln (| x - 1 |) + C$

Etapa 14.2

Para escrever $\ln (| x - 1 |)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + x + \frac{y^{2}}{2} + \ln (| x - 1 |) \cdot \frac{2}{2} + C$

Etapa 14.3

Combine $\ln (| x - 1 |)$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + x + \frac{y^{2}}{2} + \frac{\ln (| x - 1 |) \cdot 2}{2} + C$

Etapa 14.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + x + \frac{y^{2} + \ln (| x - 1 |) \cdot 2}{2} + C$

Etapa 14.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 14.5.1

Multiplique $\ln (| x - 1 |) \cdot 2$ .

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Etapa 14.5.1.1

Reordene $\ln (| x - 1 |)$ e $2$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + x + \frac{y^{2} + 2 \cdot \ln (| x - 1 |)}{2} + C$

Etapa 14.5.1.2

Simplifique $2 \cdot \ln (| x - 1 |)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + x + \frac{y^{2} + \ln ({| x - 1 |}^{2})}{2} + C$

Etapa 14.5.2

Remova o valor absoluto em ${| x - 1 |}^{2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + x + \frac{y^{2} + \ln ({(x - 1)}^{2})}{2} + C$