Cálculo Exemplos

$x (y + 2) d y = (\ln (x) + 1) d x$

Etapa 1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} (x (y + 2)) d y = \frac{1}{x} (\ln (x) + 1) d x$

Etapa 2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{x} (x (y + 2)) d y = \frac{1}{x} (\ln (x) + 1) d x$

Etapa 2.1.2

Reescreva a expressão.

$(y + 2) d y = \frac{1}{x} (\ln (x) + 1) d x$

Etapa 2.2

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $\ln (x) + 1$ .

$(y + 2) d y = \frac{\ln (x) + 1}{x} d x$

Etapa 3

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int y + 2 d y = \int \frac{\ln (x) + 1}{x} d x$

Etapa 3.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Divida a integral única em várias integrais.

$\int y d y + \int 2 d y = \int \frac{\ln (x) + 1}{x} d x$

Etapa 3.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int 2 d y = \int \frac{\ln (x) + 1}{x} d x$

Etapa 3.2.3

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + 2 y + C_{2} = \int \frac{\ln (x) + 1}{x} d x$

Etapa 3.2.4

Simplifique.

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + C_{3} = \int \frac{\ln (x) + 1}{x} d x$

Etapa 3.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Divida a fração em diversas frações.

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + C_{3} = \int \frac{\ln (x)}{x} + \frac{1}{x} d x$

Etapa 3.3.2

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + C_{3} = \int \frac{\ln (x)}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 3.3.3

Deixe $u = \ln (x)$ . Depois, $d u = \frac{1}{x} d x$ , então, $x d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Deixe $u = \ln (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1.1

Diferencie $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 3.3.3.1.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Etapa 3.3.3.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + C_{3} = \int u d u + \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 3.3.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u$ com relação a $u$ é $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + C_{3} = \frac{1}{2} u^{2} + C_{4} + \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 3.3.5

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + C_{3} = \frac{1}{2} u^{2} + C_{4} + \ln (| x |) + C_{5}$

Etapa 3.3.6

Simplifique.

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + C_{3} = \frac{1}{2} u^{2} + \ln (| x |) + C_{6}$

Etapa 3.3.7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\ln (x)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + C_{3} = \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + \ln (| x |) + C_{6}$

Etapa 3.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y = \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + \ln (| x |) + C$

Etapa 4

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique as expressões na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} + 2 y = \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + \ln (| x |) + C$

Etapa 4.1.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\ln^{2} (x)$ .

$\frac{y^{2}}{2} + 2 y = \frac{\ln^{2} (x)}{2} + \ln (| x |) + C$

Etapa 4.2

Multiplique cada termo em $\frac{y^{2}}{2} + 2 y = \frac{\ln^{2} (x)}{2} + \ln (| x |) + C$ por $2$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Multiplique cada termo em $\frac{y^{2}}{2} + 2 y = \frac{\ln^{2} (x)}{2} + \ln (| x |) + C$ por $2$ .

$\frac{y^{2}}{2} \cdot 2 + 2 y \cdot 2 = \frac{\ln^{2} (x)}{2} \cdot 2 + \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Etapa 4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y^{2}}{2} \cdot 2 + 2 y \cdot 2 = \frac{\ln^{2} (x)}{2} \cdot 2 + \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Etapa 4.2.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y^{2} + 2 y \cdot 2 = \frac{\ln^{2} (x)}{2} \cdot 2 + \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Etapa 4.2.2.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$y^{2} + 4 y = \frac{\ln^{2} (x)}{2} \cdot 2 + \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Etapa 4.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$y^{2} + 4 y = \frac{\ln^{2} (x)}{2} \cdot 2 + \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Etapa 4.2.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y^{2} + 4 y = \ln^{2} (x) + \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Etapa 4.2.3.1.2

Mova $2$ para a esquerda de $\ln (| x |)$ .

$y^{2} + 4 y = \ln^{2} (x) + 2 \cdot \ln (| x |) + C \cdot 2$

Etapa 4.2.3.1.3

Mova $2$ para a esquerda de $C$ .

$y^{2} + 4 y = \ln^{2} (x) + 2 \ln (| x |) + 2 C$

Etapa 4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.1

Simplifique $2 \ln (| x |)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$y^{2} + 4 y = \ln^{2} (x) + \ln ({| x |}^{2}) + 2 C$

Etapa 4.3.1.2

Remova o valor absoluto em ${| x |}^{2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$y^{2} + 4 y = \ln^{2} (x) + \ln (x^{2}) + 2 C$

Etapa 4.4

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$- \ln (x^{2}) = - y^{2} - 4 y + \ln^{2} (x) + 2 C$

Etapa 4.5

Reescreva a equação como $- y^{2} - 4 y + \ln^{2} (x) + 2 C = - \ln (x^{2})$ .

$- y^{2} - 4 y + \ln^{2} (x) + 2 C = - \ln (x^{2})$

Etapa 4.6

Some $\ln (x^{2})$ aos dois lados da equação.

$- y^{2} - 4 y + \ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) = 0$

Etapa 4.7

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 4.8

Substitua os valores $a = - 1$ , $b = - 4$ e $c = \ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2})$ na fórmula quadrática e resolva $y$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2})))}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 4.9

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.9.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.9.1.1

Fatore $- 4$ de ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.9.1.1.1

Fatore $- 4$ de ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot - 1 \cdot (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}))}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 4.9.1.1.2

Fatore $- 4$ de $- 4 \cdot - 1 \cdot (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}))$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (- 1 \cdot (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2})))}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 4.9.1.1.3

Fatore $- 4$ de $- 4 \cdot - 4 - 4 (- 1 \cdot (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2})))$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - 1 \cdot (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2})))}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 4.9.1.2

Fatore $- 1$ de $- 4 - 1 \cdot (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.9.1.2.1

Reordene $- 4$ e $- 1 \cdot (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}))$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2})) - 4)}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 4.9.1.2.2

Reescreva $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2})) - 1 \cdot 4)}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 4.9.1.2.3

Fatore $- 1$ de $- 1 (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2})) - 1 (4)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4))}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 4.9.1.2.4

Reescreva $- 1 (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4)$ como $- (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4))}}{2 \cdot - 1}$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot (- 1 (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4))}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 4.9.1.3

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.9.1.3.1

Fatore o negativo.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- (- 4 (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4))}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 4.9.1.3.2

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4)}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 4.9.1.4

Reescreva $4 (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4)$ como $2^{2} (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 2^{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.9.1.4.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4)}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 4.9.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} (\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 2^{2})}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 4.9.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 2^{2}}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 4.9.1.6

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 4.9.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4}}{- 2}$

Etapa 4.9.3

Simplifique $\frac{4 \pm 2 \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4}}{- 2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4}}{- 1}$

Etapa 4.9.4

Mova o número negativo do denominador de $\frac{2 \pm \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (2 \pm \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4})$

Etapa 4.9.5

Reescreva $- 1 \cdot (2 \pm \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4})$ como $- (2 \pm \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4})$ .

$y = - (2 \pm \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4})$

Etapa 4.10

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$y = - 2 - \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4}$

$y = - 2 + \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4}$

$y = - 2 - \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4}$

$y = - 2 + \sqrt{\ln^{2} (x) + 2 C + \ln (x^{2}) + 4}$

Etapa 5

Simplifique a constante de integração.

$y = - 2 - \sqrt{\ln^{2} (x) + C + \ln (x^{2}) + 4}$

$y = - 2 + \sqrt{\ln^{2} (x) + C + \ln (x^{2}) + 4}$