Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \tan (x)$ , $y (0) = 1$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = \tan (x) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int \tan (x) d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int \tan (x) d x$

Etapa 2.3

A integral de $\tan (x)$ com relação a $x$ é $\ln (| \sec (x) |)$ .

$y + C_{1} = \ln (| \sec (x) |) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$y = \ln (| \sec (x) |) + C$

Etapa 3

Use a condição inicial para encontrar o valor de $C$ , substituindo $0$ por $x$ e $1$ por $y$ em $y = \ln (| \sec (x) |) + C$ .

$1 = \ln (| \sec (0) |) + C$

Etapa 4

Resolva $C$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como $\ln (| \sec (0) |) + C = 1$ .

$\ln (| \sec (0) |) + C = 1$

Etapa 4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Simplifique $\ln (| \sec (0) |) + C$ .

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Etapa 4.2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1.1

O valor exato de $\sec (0)$ é $1$ .

$\ln (| 1 |) + C = 1$

Etapa 4.2.1.1.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\ln (1) + C = 1$

Etapa 4.2.1.1.3

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$0 + C = 1$

Etapa 4.2.1.2

Some $0$ e $C$ .

$C = 1$

Etapa 5

Substitua $1$ por $C$ em $y = \ln (| \sec (x) |) + C$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Substitua $1$ por $C$ .

$y = \ln (| \sec (x) |) + 1$