Cálculo Exemplos

$(7 y - 3) d x + (2 x + 1) d y = 0$

Etapa 1

Subtraia $(7 y - 3) d x$ dos dois lados da equação.

$(2 x + 1) d y = - (7 y - 3) d x$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{(2 x + 1) (7 y - 3)}$ .

$\frac{1}{(2 x + 1) (7 y - 3)} (2 x + 1) d y = \frac{1}{(2 x + 1) (7 y - 3)} (- (7 y - 3)) d x$

Etapa 3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Cancele o fator comum de $2 x + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{(2 x + 1) (7 y - 3)} (2 x + 1) d y = \frac{1}{(2 x + 1) (7 y - 3)} (- (7 y - 3)) d x$

Etapa 3.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{7 y - 3} d y = \frac{1}{(2 x + 1) (7 y - 3)} (- (7 y - 3)) d x$

Etapa 3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1}{7 y - 3} d y = - \frac{1}{(2 x + 1) (7 y - 3)} (7 y - 3) d x$

Etapa 3.3

Cancele o fator comum de $7 y - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{(2 x + 1) (7 y - 3)}$ para o numerador.

$\frac{1}{7 y - 3} d y = \frac{- 1}{(2 x + 1) (7 y - 3)} (7 y - 3) d x$

Etapa 3.3.2

Fatore $7 y - 3$ de $(2 x + 1) (7 y - 3)$ .

$\frac{1}{7 y - 3} d y = \frac{- 1}{(7 y - 3) (2 x + 1)} (7 y - 3) d x$

Etapa 3.3.3

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{7 y - 3} d y = \frac{- 1}{(7 y - 3) (2 x + 1)} (7 y - 3) d x$

Etapa 3.3.4

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{7 y - 3} d y = \frac{- 1}{2 x + 1} d x$

Etapa 3.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{7 y - 3} d y = - \frac{1}{2 x + 1} d x$

Etapa 4

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{7 y - 3} d y = \int - \frac{1}{2 x + 1} d x$

Etapa 4.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Deixe $u_{1} = 7 y - 3$ . Depois, $d u_{1} = 7 d y$ , então, $\frac{1}{7} d u_{1} = d y$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Deixe $u_{1} = 7 y - 3$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1.1

Diferencie $7 y - 3$ .

$\frac{d}{d y} [7 y - 3]$

Etapa 4.2.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $7 y - 3$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [7 y] + \frac{d}{d y} [- 3]$ .

$\frac{d}{d y} [7 y] + \frac{d}{d y} [- 3]$

Etapa 4.2.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [7 y]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1.3.1

Como $7$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $7 y$ em relação a $y$ é $7 \frac{d}{d y} [y]$ .

$7 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]$

Etapa 4.2.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$7 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 3]$

Etapa 4.2.1.1.3.3

Multiplique $7$ por $1$ .

$7 + \frac{d}{d y} [- 3]$

Etapa 4.2.1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1.4.1

Como $- 3$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 3$ em relação a $y$ é $0$ .

$7 + 0$

Etapa 4.2.1.1.4.2

Some $7$ e $0$ .

$7$

Etapa 4.2.1.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{7} d u_{1} = \int - \frac{1}{2 x + 1} d x$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Multiplique $\frac{1}{u_{1}}$ por $\frac{1}{7}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 7} d u_{1} = \int - \frac{1}{2 x + 1} d x$

Etapa 4.2.2.2

Mova $7$ para a esquerda de $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{7 u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{1}{2 x + 1} d x$

Etapa 4.2.3

Como $\frac{1}{7}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{7}$ para fora da integral.

$\frac{1}{7} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{1}{2 x + 1} d x$

Etapa 4.2.4

A integral de $\frac{1}{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{7} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int - \frac{1}{2 x + 1} d x$

Etapa 4.2.5

Simplifique.

$\frac{1}{7} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{2 x + 1} d x$

Etapa 4.2.6

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $7 y - 3$ .

$\frac{1}{7} \ln (| 7 y - 3 |) + C_{1} = \int - \frac{1}{2 x + 1} d x$

Etapa 4.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{7} \ln (| 7 y - 3 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 x + 1} d x$

Etapa 4.3.2

Deixe $u_{2} = 2 x + 1$ . Depois, $d u_{2} = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Deixe $u_{2} = 2 x + 1$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1

Diferencie $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Etapa 4.3.2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 4.3.2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 4.3.2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 4.3.2.1.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 4.3.2.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.4.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 + 0$

Etapa 4.3.2.1.4.2

Some $2$ e $0$ .

$2$

Etapa 4.3.2.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{7} \ln (| 7 y - 3 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 4.3.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1

Multiplique $\frac{1}{u_{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{7} \ln (| 7 y - 3 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Etapa 4.3.3.2

Mova $2$ para a esquerda de $u_{2}$ .

$\frac{1}{7} \ln (| 7 y - 3 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Etapa 4.3.4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{7} \ln (| 7 y - 3 |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Etapa 4.3.5

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{7} \ln (| 7 y - 3 |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Etapa 4.3.6

Simplifique.

$\frac{1}{7} \ln (| 7 y - 3 |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Etapa 4.3.7

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 x + 1$ .

$\frac{1}{7} \ln (| 7 y - 3 |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |) + C_{2}$

Etapa 4.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\frac{1}{7} \ln (| 7 y - 3 |) = - \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |) + C$

Etapa 5

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Multiplique os dois lados da equação por $7$ .

$7 (\frac{1}{7} \ln (| 7 y - 3 |)) = 7 (- \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |) + C)$

Etapa 5.2

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Simplifique $7 (\frac{1}{7} \ln (| 7 y - 3 |))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{7}$ e $\ln (| 7 y - 3 |)$ .

$7 \frac{\ln (| 7 y - 3 |)}{7} = 7 (- \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |) + C)$

Etapa 5.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$7 \frac{\ln (| 7 y - 3 |)}{7} = 7 (- \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |) + C)$

Etapa 5.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\ln (| 7 y - 3 |) = 7 (- \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |) + C)$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Simplifique $7 (- \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |) + C)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.1

Combine $\ln (| 2 x + 1 |)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| 7 y - 3 |) = 7 (- \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C)$

Etapa 5.2.2.1.2

Para escrever $C$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 7 y - 3 |) = 7 (- \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C \cdot \frac{2}{2})$

Etapa 5.2.2.1.3

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.3.1

Combine $C$ e $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 7 y - 3 |) = 7 (- \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2})$

Etapa 5.2.2.1.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\ln (| 7 y - 3 |) = 7 \frac{- \ln (| 2 x + 1 |) + C \cdot 2}{2}$

Etapa 5.2.2.1.4

Mova $2$ para a esquerda de $C$ .

$\ln (| 7 y - 3 |) = 7 \frac{- \ln (| 2 x + 1 |) + 2 C}{2}$

Etapa 5.2.2.1.5

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.5.1

Combine $7$ e $\frac{- \ln (| 2 x + 1 |) + 2 C}{2}$ .

$\ln (| 7 y - 3 |) = \frac{7 (- \ln (| 2 x + 1 |) + 2 C)}{2}$

Etapa 5.2.2.1.5.2

Fatore $- 1$ de $- \ln (| 2 x + 1 |)$ .

$\ln (| 7 y - 3 |) = \frac{7 (- (\ln (| 2 x + 1 |)) + 2 C)}{2}$

Etapa 5.2.2.1.5.3

Fatore $- 1$ de $2 C$ .

$\ln (| 7 y - 3 |) = \frac{7 (- (\ln (| 2 x + 1 |)) - (- 2 C))}{2}$

Etapa 5.2.2.1.5.4

Fatore $- 1$ de $- (\ln (| 2 x + 1 |)) - (- 2 C)$ .

$\ln (| 7 y - 3 |) = \frac{7 (- (\ln (| 2 x + 1 |) - 2 C))}{2}$

Etapa 5.2.2.1.5.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.5.5.1

Reescreva $- (\ln (| 2 x + 1 |) - 2 C)$ como $- 1 (\ln (| 2 x + 1 |) - 2 C)$ .

$\ln (| 7 y - 3 |) = \frac{7 (- 1 (\ln (| 2 x + 1 |) - 2 C))}{2}$

Etapa 5.2.2.1.5.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\ln (| 7 y - 3 |) = - \frac{7 (\ln (| 2 x + 1 |) - 2 C)}{2}$

Etapa 5.3

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| 7 y - 3 |)} = e^{- \frac{7 (\ln (| 2 x + 1 |) - 2 C)}{2}}$

Etapa 5.4

Reescreva $\ln (| 7 y - 3 |) = - \frac{7 (\ln (| 2 x + 1 |) - 2 C)}{2}$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{7 (\ln (| 2 x + 1 |) - 2 C)}{2}} = | 7 y - 3 |$

Etapa 5.5

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Reescreva a equação como $| 7 y - 3 | = e^{- \frac{7 (\ln (| 2 x + 1 |) - 2 C)}{2}}$ .

$| 7 y - 3 | = e^{- \frac{7 (\ln (| 2 x + 1 |) - 2 C)}{2}}$

Etapa 5.5.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$7 y - 3 = \pm e^{- \frac{7 (\ln (| 2 x + 1 |) - 2 C)}{2}}$

Etapa 5.5.3

Some $3$ aos dois lados da equação.

$7 y = \pm e^{- \frac{7 (\ln (| 2 x + 1 |) - 2 C)}{2}} + 3$

Etapa 5.5.4

Divida cada termo em $7 y = \pm e^{- \frac{7 (\ln (| 2 x + 1 |) - 2 C)}{2}} + 3$ por $7$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.1

Divida cada termo em $7 y = \pm e^{- \frac{7 (\ln (| 2 x + 1 |) - 2 C)}{2}} + 3$ por $7$ .

$\frac{7 y}{7} = \frac{\pm e^{- \frac{7 (\ln (| 2 x + 1 |) - 2 C)}{2}}}{7} + \frac{3}{7}$

Etapa 5.5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.2.1

Cancele o fator comum de $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{7 y}{7} = \frac{\pm e^{- \frac{7 (\ln (| 2 x + 1 |) - 2 C)}{2}}}{7} + \frac{3}{7}$

Etapa 5.5.4.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\pm e^{- \frac{7 (\ln (| 2 x + 1 |) - 2 C)}{2}}}{7} + \frac{3}{7}$

Etapa 5.5.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{\pm e^{- \frac{7 (\ln (| 2 x + 1 |) - 2 C)}{2}} + 3}{7}$

Etapa 6

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{\pm e^{- \frac{7 (\ln (| 2 x + 1 |) + C)}{2}} + 3}{7}$