Cálculo Exemplos

$(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = 2 x y$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Divida cada termo em $(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = 2 x y$ por $x^{2} - 1$ e simplifique.

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Etapa 1.1.1

Divida cada termo em $(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = 2 x y$ por $x^{2} - 1$ .

$\frac{(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x}}{x^{2} - 1} = \frac{2 x y}{x^{2} - 1}$

Etapa 1.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1.2.1

Cancele o fator comum de $x^{2} - 1$ .

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Etapa 1.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x}}{x^{2} - 1} = \frac{2 x y}{x^{2} - 1}$

Etapa 1.1.2.1.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y}{x^{2} - 1}$

Etapa 1.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.1.3.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.1.3.1.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y}{x^{2} - 1^{2}}$

Etapa 1.1.3.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y}{(x + 1) (x - 1)}$

Etapa 1.2

Reagrupe os fatores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} y$

Etapa 1.3

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (\frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} y)$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 1.4.1

Fatore $y$ de $\frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)})$

Etapa 1.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)})$

Etapa 1.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)}$

Etapa 1.5

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y} d y = \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Etapa 2.2

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Etapa 2.3.2

Deixe $u = (x + 1) (x - 1)$ . Depois, $d u = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.3.2.1

Deixe $u = (x + 1) (x - 1)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.3.2.1.1

Diferencie $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)]$

Etapa 2.3.2.1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x + 1$ e $g (x) = x - 1$ .

$(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 2.3.2.1.3

Diferencie.

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Etapa 2.3.2.1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 2.3.2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 2.3.2.1.3.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$(x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 2.3.2.1.3.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.2.1.3.4.1

Some $1$ e $0$ .

$(x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 2.3.2.1.3.4.2

Multiplique $x + 1$ por $1$ .

$x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 2.3.2.1.3.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 2.3.2.1.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x + 1 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 2.3.2.1.3.7

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$x + 1 + (x - 1) (1 + 0)$

Etapa 2.3.2.1.3.8

Simplifique somando os termos.

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Etapa 2.3.2.1.3.8.1

Some $1$ e $0$ .

$x + 1 + (x - 1) \cdot 1$

Etapa 2.3.2.1.3.8.2

Multiplique $x - 1$ por $1$ .

$x + 1 + x - 1$

Etapa 2.3.2.1.3.8.3

Some $x$ e $x$ .

$2 x + 1 - 1$

Etapa 2.3.2.1.3.8.4

Simplifique subtraindo os números.

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Etapa 2.3.2.1.3.8.4.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$2 x + 0$

Etapa 2.3.2.1.3.8.4.2

Some $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Etapa 2.3.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 2.3.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.3.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Etapa 2.3.3.2

Mova $2$ para a esquerda de $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{2 u} d u$

Etapa 2.3.4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

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Etapa 2.3.5.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 2.3.5.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.5.2.1

Cancele o fator comum.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 2.3.5.2.2

Reescreva a expressão.

$\ln (| y |) + C_{1} = 1 \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 2.3.5.3

Multiplique $\int \frac{1}{u} d u$ por $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 2.3.6

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

Etapa 2.3.7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $(x + 1) (x - 1)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| y |) = \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (| y |) - \ln (| (x + 1) (x - 1) |) = C$

Etapa 3.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{| (x + 1) (x - 1) |}) = C$

Etapa 3.3

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| (x + 1) (x - 1) |})} = e^{C}$

Etapa 3.4

Reescreva $\ln (\frac{| y |}{| (x + 1) (x - 1) |}) = C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{| (x + 1) (x - 1) |}$

Etapa 3.5

Resolva $y$ .

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Etapa 3.5.1

Reescreva a equação como $\frac{| y |}{| (x + 1) (x - 1) |} = e^{C}$ .

$\frac{| y |}{| (x + 1) (x - 1) |} = e^{C}$

Etapa 3.5.2

Multiplique os dois lados por $| (x + 1) (x - 1) |$ .

$\frac{| y |}{| (x + 1) (x - 1) |} | (x + 1) (x - 1) | = e^{C} | (x + 1) (x - 1) |$

Etapa 3.5.3

Simplifique.

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Etapa 3.5.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.5.3.1.1

Cancele o fator comum de $| (x + 1) (x - 1) |$ .

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Etapa 3.5.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{| y |}{| (x + 1) (x - 1) |} | (x + 1) (x - 1) | = e^{C} | (x + 1) (x - 1) |$

Etapa 3.5.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$| y | = e^{C} | (x + 1) (x - 1) |$

Etapa 3.5.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.5.3.2.1

Simplifique $e^{C} | (x + 1) (x - 1) |$ .

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Etapa 3.5.3.2.1.1

Expanda $(x + 1) (x - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.5.3.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$| y | = e^{C} | x (x - 1) + 1 (x - 1) |$

Etapa 3.5.3.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$| y | = e^{C} | x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) |$

Etapa 3.5.3.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$| y | = e^{C} | x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |$

Etapa 3.5.3.2.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.5.3.2.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.2.1.2.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$| y | = e^{C} | x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |$

Etapa 3.5.3.2.1.2.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$| y | = e^{C} | x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 |$

Etapa 3.5.3.2.1.2.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$| y | = e^{C} | x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 |$

Etapa 3.5.3.2.1.2.1.4

Multiplique $x$ por $1$ .

$| y | = e^{C} | x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 |$

Etapa 3.5.3.2.1.2.1.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$| y | = e^{C} | x^{2} - x + x - 1 |$

Etapa 3.5.3.2.1.2.2

Some $- x$ e $x$ .

$| y | = e^{C} | x^{2} + 0 - 1 |$

Etapa 3.5.3.2.1.2.3

Some $x^{2}$ e $0$ .

$| y | = e^{C} | x^{2} - 1 |$

Etapa 3.5.4

Resolva $y$ .

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Etapa 3.5.4.1

Reordene os fatores em $e^{C} | x^{2} - 1 |$ .

$| y | = | x^{2} - 1 | e^{C}$

Etapa 3.5.4.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$y = \pm | x^{2} - 1 | e^{C}$

Etapa 4

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 4.1

Simplifique a constante de integração.

$y = \pm | x^{2} - 1 | C$

Etapa 4.2

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = C | x^{2} - 1 |$