Cálculo Exemplos

$\frac{y - 1}{- y - 1} \cdot \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + x^{2}}$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$\frac{y - 1}{- y - 1} d y = \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{y - 1}{- y - 1} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Divida $y - 1$ por $- y - 1$ .

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Etapa 2.2.1.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$y$

$1$

$y$

$1$

Etapa 2.2.1.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $y$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $- y$ .

				-	$1$
-	$y$	-	$1$		$y$	-	$1$

Etapa 2.2.1.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				-	$1$
-	$y$	-	$1$		$y$	-	$1$
				+	$y$	+	$1$

Etapa 2.2.1.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $y + 1$ .

				-	$1$
-	$y$	-	$1$		$y$	-	$1$
				-	$y$	-	$1$

Etapa 2.2.1.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				-	$1$
-	$y$	-	$1$		$y$	-	$1$
				-	$y$	-	$1$
						-	$2$

Etapa 2.2.1.6

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\int - 1 - \frac{2}{- y - 1} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 2.2.2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int - 1 d y + \int - \frac{2}{- y - 1} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 2.2.3

Aplique a regra da constante.

$- y + C_{1} + \int - \frac{2}{- y - 1} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 2.2.4

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- y + C_{1} - \int \frac{2}{- y - 1} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 2.2.5

Como $2$ é constante com relação a $y$ , mova $2$ para fora da integral.

$- y + C_{1} - (2 \int \frac{1}{- y - 1} d y) = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 2.2.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- y + C_{1} - 2 \int \frac{1}{- y - 1} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 2.2.7

Deixe $u = - y - 1$ . Depois, $d u = - d y$ , então, $- d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.2.7.1

Deixe $u = - y - 1$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 2.2.7.1.1

Reescreva.

$\frac{- 1}{1}$

Etapa 2.2.7.1.2

Divida $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 2.2.7.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$- y + C_{1} - 2 \int \frac{- 1}{u} d u = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 2.2.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- y + C_{1} - 2 \int - \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 2.2.9

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- y + C_{1} - 2 (- \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 2.2.10

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$- y + C_{1} + 2 \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 2.2.11

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$- y + C_{1} + 2 (\ln (| u |) + C_{2}) = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 2.2.12

Simplifique.

$- y + 2 \ln (| u |) + C_{3} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 2.2.13

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- y - 1$ .

$- y + 2 \ln (| - y - 1 |) + C_{3} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$- y + 2 \ln (| - y - 1 |) + C_{3} = \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Etapa 2.3.2

A integral de $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ com relação a $x$ é $\arctan (x) + C_{4}$ .

$- y + 2 \ln (| - y - 1 |) + C_{3} = \arctan (x) + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$- y + 2 \ln (| - y - 1 |) = \arctan (x) + C$