Cálculo Exemplos

$(y^{2} + 1) d x + x^{2} y^{2} d y = 0$

Etapa 1

Escreva o problema como uma expressão matemática.

$(y^{2} + 1) d x + x^{2} y^{2} d y = 0$

Etapa 2

Subtraia $(y^{2} + 1) d x$ dos dois lados da equação.

$x^{2} y^{2} d y = - (y^{2} + 1) d x$

Etapa 3

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)}$ .

$\frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (- (y^{2} + 1)) d x$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 4.1.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (x^{2} (y^{2})) d y = \frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (- (y^{2} + 1)) d x$

Etapa 4.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (- (y^{2} + 1)) d x$

Etapa 4.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y^{2} + 1} y^{2} d y = \frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (- (y^{2} + 1)) d x$

Etapa 4.2

Combine $\frac{1}{y^{2} + 1}$ e $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{y^{2} + 1} d y = \frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (- (y^{2} + 1)) d x$

Etapa 4.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{y^{2}}{y^{2} + 1} d y = - \frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (y^{2} + 1) d x$

Etapa 4.4

Cancele o fator comum de $y^{2} + 1$ .

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Etapa 4.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)}$ para o numerador.

$\frac{y^{2}}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (y^{2} + 1) d x$

Etapa 4.4.2

Fatore $y^{2} + 1$ de $x^{2} (y^{2} + 1)$ .

$\frac{y^{2}}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 1}{(y^{2} + 1) x^{2}} (y^{2} + 1) d x$

Etapa 4.4.3

Cancele o fator comum.

$\frac{y^{2}}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 1}{(y^{2} + 1) x^{2}} (y^{2} + 1) d x$

Etapa 4.4.4

Reescreva a expressão.

$\frac{y^{2}}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 1}{x^{2}} d x$

Etapa 4.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{y^{2}}{y^{2} + 1} d y = - \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 5

Integre os dois lados.

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Etapa 5.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{y^{2}}{y^{2} + 1} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 5.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1

Divida $y^{2}$ por $y^{2} + 1$ .

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Etapa 5.2.1.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$y^{2}$

$0 y$

$1$

$y^{2}$

$0 y$

$0$

Etapa 5.2.1.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $y^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $y^{2}$ .

							$1$
	$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

						$1$
$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
					+	$y^{2}$	+	$0$	+	$1$

Etapa 5.2.1.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $y^{2} + 0 + 1$ .

						$1$
$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
					-	$y^{2}$	-	$0$	-	$1$

Etapa 5.2.1.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

						$1$
$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
					-	$y^{2}$	-	$0$	-	$1$
									-	$1$

Etapa 5.2.1.6

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\int 1 - \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 5.2.2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int d y + \int - \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 5.2.3

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} + \int - \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 5.2.4

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$y + C_{1} - \int \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 5.2.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.2.5.1

Reordene $y^{2}$ e $1$ .

$y + C_{1} - \int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 5.2.5.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$y + C_{1} - \int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 5.2.6

A integral de $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ com relação a $y$ é $\arctan (y) + C_{2}$ .

$y + C_{1} - (\arctan (y) + C_{2}) = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 5.2.7

Simplifique.

$y - \arctan (y) + C_{3} = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 5.3

Integre o lado direito.

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Etapa 5.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$y - \arctan (y) + C_{3} = - \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 5.3.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 5.3.2.1

Mova $x^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$y - \arctan (y) + C_{3} = - \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Etapa 5.3.2.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 5.3.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y - \arctan (y) + C_{3} = - \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Etapa 5.3.2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$y - \arctan (y) + C_{3} = - \int x^{- 2} d x$

Etapa 5.3.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 2}$ com relação a $x$ é $- x^{- 1}$ .

$y - \arctan (y) + C_{3} = - (- x^{- 1} + C_{4})$

Etapa 5.3.4

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.3.4.1

Reescreva $- (- x^{- 1} + C_{4})$ como $- - \frac{1}{x} + C_{4}$ .

$y - \arctan (y) + C_{3} = - - \frac{1}{x} + C_{4}$

Etapa 5.3.4.2

Simplifique.

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Etapa 5.3.4.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y - \arctan (y) + C_{3} = 1 \frac{1}{x} + C_{4}$

Etapa 5.3.4.2.2

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $1$ .

$y - \arctan (y) + C_{3} = \frac{1}{x} + C_{4}$

Etapa 5.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y - \arctan (y) = \frac{1}{x} + K$