Cálculo Exemplos

$3 (y^{4} + 1) d x + 4 x y^{3} d y = 0$

Etapa 1

Subtraia $3 (y^{4} + 1) d x$ dos dois lados da equação.

$4 x y^{3} d y = - 3 (y^{4} + 1) d x$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{x (y^{4} + 1)}$ .

$\frac{1}{x (y^{4} + 1)} (4 x y^{3}) d y = \frac{1}{x (y^{4} + 1)} (- 3 (y^{4} + 1)) d x$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$4 \frac{1}{x (y^{4} + 1)} (x y^{3}) d y = \frac{1}{x (y^{4} + 1)} (- 3 (y^{4} + 1)) d x$

Etapa 3.2

Combine $4$ e $\frac{1}{x (y^{4} + 1)}$ .

$\frac{4}{x (y^{4} + 1)} (x y^{3}) d y = \frac{1}{x (y^{4} + 1)} (- 3 (y^{4} + 1)) d x$

Etapa 3.3

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 3.3.1

Fatore $x$ de $x y^{3}$ .

$\frac{4}{x (y^{4} + 1)} (x (y^{3})) d y = \frac{1}{x (y^{4} + 1)} (- 3 (y^{4} + 1)) d x$

Etapa 3.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4}{x (y^{4} + 1)} (x y^{3}) d y = \frac{1}{x (y^{4} + 1)} (- 3 (y^{4} + 1)) d x$

Etapa 3.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{4}{y^{4} + 1} y^{3} d y = \frac{1}{x (y^{4} + 1)} (- 3 (y^{4} + 1)) d x$

Etapa 3.4

Combine $\frac{4}{y^{4} + 1}$ e $y^{3}$ .

$\frac{4 y^{3}}{y^{4} + 1} d y = \frac{1}{x (y^{4} + 1)} (- 3 (y^{4} + 1)) d x$

Etapa 3.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{4 y^{3}}{y^{4} + 1} d y = - 3 \frac{1}{x (y^{4} + 1)} (y^{4} + 1) d x$

Etapa 3.6

Combine $- 3$ e $\frac{1}{x (y^{4} + 1)}$ .

$\frac{4 y^{3}}{y^{4} + 1} d y = \frac{- 3}{x (y^{4} + 1)} (y^{4} + 1) d x$

Etapa 3.7

Cancele o fator comum de $y^{4} + 1$ .

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Etapa 3.7.1

Fatore $y^{4} + 1$ de $x (y^{4} + 1)$ .

$\frac{4 y^{3}}{y^{4} + 1} d y = \frac{- 3}{(y^{4} + 1) x} (y^{4} + 1) d x$

Etapa 3.7.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4 y^{3}}{y^{4} + 1} d y = \frac{- 3}{(y^{4} + 1) x} (y^{4} + 1) d x$

Etapa 3.7.3

Reescreva a expressão.

$\frac{4 y^{3}}{y^{4} + 1} d y = \frac{- 3}{x} d x$

Etapa 3.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{4 y^{3}}{y^{4} + 1} d y = - \frac{3}{x} d x$

Etapa 4

Integre os dois lados.

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Etapa 4.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{4 y^{3}}{y^{4} + 1} d y = \int - \frac{3}{x} d x$

Etapa 4.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Como $4$ é constante com relação a $y$ , mova $4$ para fora da integral.

$4 \int \frac{y^{3}}{y^{4} + 1} d y = \int - \frac{3}{x} d x$

Etapa 4.2.2

Reescreva $y^{4}$ como ${(y^{4})}^{1}$ .

$4 \int \frac{y^{3}}{{(y^{4})}^{1} + 1} d y = \int - \frac{3}{x} d x$

Etapa 4.2.3

Deixe $u_{1} = y^{4}$ . Depois, $d u_{1} = 4 y^{3} d y$ , então, $\frac{1}{4} d u_{1} = y^{3} d y$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 4.2.3.1

Deixe $u_{1} = y^{4}$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Etapa 4.2.3.1.1

Diferencie $y^{4}$ .

$\frac{d}{d y} [y^{4}]$

Etapa 4.2.3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 y^{3}$

Etapa 4.2.3.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$4 \int \frac{1}{{u_{1}}^{1} + 1} \cdot \frac{1}{4} d u_{1} = \int - \frac{3}{x} d x$

Etapa 4.2.4

Simplifique.

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Etapa 4.2.4.1

Simplifique.

$4 \int \frac{1}{u_{1} + 1} \cdot \frac{1}{4} d u_{1} = \int - \frac{3}{x} d x$

Etapa 4.2.4.2

Multiplique $\frac{1}{u_{1} + 1}$ por $\frac{1}{4}$ .

$4 \int \frac{1}{(u_{1} + 1) \cdot 4} d u_{1} = \int - \frac{3}{x} d x$

Etapa 4.2.4.3

Mova $4$ para a esquerda de $u_{1} + 1$ .

$4 \int \frac{1}{4 (u_{1} + 1)} d u_{1} = \int - \frac{3}{x} d x$

Etapa 4.2.5

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$4 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{1} + 1} d u_{1}) = \int - \frac{3}{x} d x$

Etapa 4.2.6

Simplifique.

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Etapa 4.2.6.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $4$ .

$\frac{4}{4} \int \frac{1}{u_{1} + 1} d u_{1} = \int - \frac{3}{x} d x$

Etapa 4.2.6.2

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 4.2.6.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4}{4} \int \frac{1}{u_{1} + 1} d u_{1} = \int - \frac{3}{x} d x$

Etapa 4.2.6.2.2

Reescreva a expressão.

$1 \int \frac{1}{u_{1} + 1} d u_{1} = \int - \frac{3}{x} d x$

Etapa 4.2.6.3

Multiplique $\int \frac{1}{u_{1} + 1} d u_{1}$ por $1$ .

$\int \frac{1}{u_{1} + 1} d u_{1} = \int - \frac{3}{x} d x$

Etapa 4.2.7

Deixe $u_{2} = u_{1} + 1$ . Depois, $d u_{2} = d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 4.2.7.1

Deixe $u_{2} = u_{1} + 1$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Etapa 4.2.7.1.1

Diferencie $u_{1} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} + 1]$

Etapa 4.2.7.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $u_{1} + 1$ com relação a $u_{1}$ é $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Etapa 4.2.7.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Etapa 4.2.7.1.4

Como $1$ é constante em relação a $u_{1}$ , a derivada de $1$ em relação a $u_{1}$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 4.2.7.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 4.2.7.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int - \frac{3}{x} d x$

Etapa 4.2.8

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{2} |) + C_{1} = \int - \frac{3}{x} d x$

Etapa 4.2.9

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 4.2.9.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $u_{1} + 1$ .

$\ln (| u_{1} + 1 |) + C_{1} = \int - \frac{3}{x} d x$

Etapa 4.2.9.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $y^{4}$ .

$\ln (| y^{4} + 1 |) + C_{1} = \int - \frac{3}{x} d x$

Etapa 4.3

Integre o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\ln (| y^{4} + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{3}{x} d x$

Etapa 4.3.2

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$\ln (| y^{4} + 1 |) + C_{1} = - (3 \int \frac{1}{x} d x)$

Etapa 4.3.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\ln (| y^{4} + 1 |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.3.4

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y^{4} + 1 |) + C_{1} = - 3 (\ln (| x |) + C_{2})$

Etapa 4.3.5

Simplifique.

$\ln (| y^{4} + 1 |) + C_{1} = - 3 \ln (| x |) + C_{2}$

Etapa 4.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| y^{4} + 1 |) = - 3 \ln (| x |) + C$

Etapa 5

Resolva $y$ .

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Etapa 5.1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (| y^{4} + 1 |) + 3 \ln (| x |) = C$

Etapa 5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1

Simplifique $\ln (| y^{4} + 1 |) + 3 \ln (| x |)$ .

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Etapa 5.2.1.1

Simplifique $3 \ln (| x |)$ movendo $3$ para dentro do logaritmo.

$\ln (| y^{4} + 1 |) + \ln ({| x |}^{3}) = C$

Etapa 5.2.1.2

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y^{4} + 1 | {| x |}^{3}) = C$

Etapa 5.3

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| y^{4} + 1 | {| x |}^{3})} = e^{C}$

Etapa 5.4

Reescreva $\ln (| y^{4} + 1 | {| x |}^{3}) = C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | y^{4} + 1 | {| x |}^{3}$

Etapa 5.5

Resolva $y$ .

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Etapa 5.5.1

Reescreva a equação como $| y^{4} + 1 | {| x |}^{3} = e^{C}$ .

$| y^{4} + 1 | {| x |}^{3} = e^{C}$

Etapa 5.5.2

Divida cada termo em $| y^{4} + 1 | {| x |}^{3} = e^{C}$ por ${| x |}^{3}$ e simplifique.

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Etapa 5.5.2.1

Divida cada termo em $| y^{4} + 1 | {| x |}^{3} = e^{C}$ por ${| x |}^{3}$ .

$\frac{| y^{4} + 1 | {| x |}^{3}}{{| x |}^{3}} = \frac{e^{C}}{{| x |}^{3}}$

Etapa 5.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.5.2.2.1

Cancele o fator comum de ${| x |}^{3}$ .

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Etapa 5.5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{| y^{4} + 1 | {| x |}^{3}}{{| x |}^{3}} = \frac{e^{C}}{{| x |}^{3}}$

Etapa 5.5.2.2.1.2

Divida $| y^{4} + 1 |$ por $1$ .

$| y^{4} + 1 | = \frac{e^{C}}{{| x |}^{3}}$

Etapa 5.5.3

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$y^{4} + 1 = \pm \frac{e^{C}}{{| x |}^{3}}$

Etapa 5.5.4

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$y^{4} = \pm \frac{e^{C}}{{| x |}^{3}} - 1$

Etapa 5.5.5

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt[4]{\pm \frac{e^{C}}{{| x |}^{3}} - 1}$

Etapa 6

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 6.1

Simplifique a constante de integração.

$y = \pm \sqrt[4]{\pm \frac{C}{{| x |}^{3}} - 1}$

Etapa 6.2

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = \pm \sqrt[4]{C \frac{1}{{| x |}^{3}} - 1}$