Cálculo Exemplos

$(2 x y + y^{2}) d x + (x^{2} + 2 x y - y) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = 2 x y + y^{2}$ .

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Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y + y^{2}]$

Etapa 1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x y + y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [2 x y]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $2 x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 x y$ em relação a $y$ é $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 2 y$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = x^{2} + 2 x y - y$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x y - y]$

Etapa 2.2

Diferencie.

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Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 2 x y - y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- y]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- y]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $2 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x y$ em relação a $x$ é $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 y + \frac{d}{d x} [- y]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.4.1

Como $- y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- y$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 y + 0$

Etapa 2.4.2

Some $2 x + 2 y$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 y$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $2 x + 2 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $2 x + 2 y$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x + 2 y = 2 x + 2 y$

Etapa 3.2

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$2 x + 2 y = 2 x + 2 y$ é uma identidade.

Etapa 4

A integral de $f (x, y)$ é $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x y + y^{2} d x$

Etapa 5

Integre $M (x, y) = 2 x y + y^{2}$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 5.1

Divida a integral única em várias integrais.

$f (x, y) = \int 2 x y d x + \int y^{2} d x$

Etapa 5.2

Como $2 y$ é constante com relação a $x$ , mova $2 y$ para fora da integral.

$f (x, y) = 2 y \int x d x + \int y^{2} d x$

Etapa 5.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int y^{2} d x$

Etapa 5.4

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) + y^{2} x + C$

Etapa 5.5

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 y (\frac{x^{2}}{2} + C) + y^{2} x + C$

Etapa 5.6

Simplifique.

$f (x, y) = y x^{2} + y^{2} x + C$

Etapa 6

Como a integral de $g (y)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (y)$ .

$f (x, y) = y x^{2} + y^{2} x + g (y)$

Etapa 7

Defina $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{2} + 2 x y - y$

Etapa 8

Encontre $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Etapa 8.1

Diferencie $f$ em relação a $y$ .

$\frac{d}{d y} [y x^{2} + y^{2} x + g (y)] = x^{2} + 2 x y - y$

Etapa 8.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y x^{2} + y^{2} x + g (y)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} + 2 x y - y$

Etapa 8.3

Avalie $\frac{d}{d y} [y x^{2}]$ .

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Etapa 8.3.1

Como $x^{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $y x^{2}$ em relação a $y$ é $x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} + 2 x y - y$

Etapa 8.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} + 2 x y - y$

Etapa 8.3.3

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} + 2 x y - y$

Etapa 8.4

Avalie $\frac{d}{d y} [y^{2} x]$ .

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Etapa 8.4.1

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $y^{2} x$ em relação a $y$ é $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$x^{2} + x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} + 2 x y - y$

Etapa 8.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{2} + x (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} + 2 x y - y$

Etapa 8.4.3

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$x^{2} + 2 x y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} + 2 x y - y$

Etapa 8.5

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (y)$ é $\frac{d g}{d y}$ .

$x^{2} + 2 x y + \frac{d g}{d y} = x^{2} + 2 x y - y$

Etapa 8.6

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} + 2 x y = x^{2} + 2 x y - y$

Etapa 9

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

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Etapa 9.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d y}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 9.1.1

Subtraia $x^{2}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} + 2 x y = x^{2} + 2 x y - y - x^{2}$

Etapa 9.1.2

Subtraia $2 x y$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} = x^{2} + 2 x y - y - x^{2} - 2 x y$

Etapa 9.1.3

Combine os termos opostos em $x^{2} + 2 x y - y - x^{2} - 2 x y$ .

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Etapa 9.1.3.1

Subtraia $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 x y - y + 0 - 2 x y$

Etapa 9.1.3.2

Some $2 x y - y$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 x y - y - 2 x y$

Etapa 9.1.3.3

Subtraia $2 x y$ de $2 x y$ .

$\frac{d g}{d y} = - y + 0$

Etapa 9.1.3.4

Some $- y$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - y$

Etapa 10

Encontre a antiderivada de $- y$ para encontrar $g (y)$ .

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Etapa 10.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d y} = - y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - y d y$

Etapa 10.2

Avalie $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - y d y$

Etapa 10.3

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$g (y) = - \int y d y$

Etapa 10.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = - (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Etapa 10.5

Reescreva $- (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ como $- \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$g (y) = - \frac{1}{2} y^{2} + C$

Etapa 11

Substitua por $g (y)$ em $f (x, y) = y x^{2} + y^{2} x + g (y)$ .

$f (x, y) = y x^{2} + y^{2} x - \frac{1}{2} y^{2} + C$

Etapa 12

Simplifique $f (x, y) = y x^{2} + y^{2} x - \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

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Etapa 12.1

Combine $y^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = y x^{2} + y^{2} x - \frac{y^{2}}{2} + C$

Etapa 12.2

Subtraia $\frac{y^{2}}{2}$ de $y^{2} x$ .

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Etapa 12.2.1

Reordene $y^{2}$ e $x$ .

$f (x, y) = y x^{2} + x y^{2} - \frac{y^{2}}{2} + C$

Etapa 12.2.2

Para escrever $x y^{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = y x^{2} + x y^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{y^{2}}{2} + C$

Etapa 12.2.3

Combine $x y^{2}$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = y x^{2} + \frac{x y^{2} \cdot 2}{2} - \frac{y^{2}}{2} + C$

Etapa 12.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (x, y) = y x^{2} + \frac{x y^{2} \cdot 2 - y^{2}}{2} + C$

Etapa 12.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 12.3.1

Fatore $y^{2}$ de $x y^{2} \cdot 2 - y^{2}$ .

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Etapa 12.3.1.1

Fatore $y^{2}$ de $x y^{2} \cdot 2$ .

$f (x, y) = y x^{2} + \frac{y^{2} (x \cdot 2) - y^{2}}{2} + C$

Etapa 12.3.1.2

Fatore $y^{2}$ de $- y^{2}$ .

$f (x, y) = y x^{2} + \frac{y^{2} (x \cdot 2) + y^{2} \cdot - 1}{2} + C$

Etapa 12.3.1.3

Fatore $y^{2}$ de $y^{2} (x \cdot 2) + y^{2} \cdot - 1$ .

$f (x, y) = y x^{2} + \frac{y^{2} (x \cdot 2 - 1)}{2} + C$

Etapa 12.3.2

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$f (x, y) = y x^{2} + \frac{y^{2} (2 x - 1)}{2} + C$

Etapa 12.4

Para escrever $y x^{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = y x^{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{y^{2} (2 x - 1)}{2} + C$

Etapa 12.5

Combine $y x^{2}$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y x^{2} \cdot 2}{2} + \frac{y^{2} (2 x - 1)}{2} + C$

Etapa 12.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (x, y) = \frac{y x^{2} \cdot 2 + y^{2} (2 x - 1)}{2} + C$

Etapa 12.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 12.7.1

Fatore $y$ de $y x^{2} \cdot 2 + y^{2} (2 x - 1)$ .

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Etapa 12.7.1.1

Fatore $y$ de $y x^{2} \cdot 2$ .

$f (x, y) = \frac{y (x^{2} \cdot 2) + y^{2} (2 x - 1)}{2} + C$

Etapa 12.7.1.2

Fatore $y$ de $y^{2} (2 x - 1)$ .

$f (x, y) = \frac{y (x^{2} \cdot 2) + y (y (2 x - 1))}{2} + C$

Etapa 12.7.1.3

Fatore $y$ de $y (x^{2} \cdot 2) + y (y (2 x - 1))$ .

$f (x, y) = \frac{y (x^{2} \cdot 2 + y (2 x - 1))}{2} + C$

Etapa 12.7.2

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y (2 \cdot x^{2} + y (2 x - 1))}{2} + C$

Etapa 12.7.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x, y) = \frac{y (2 x^{2} + y (2 x) + y \cdot - 1)}{2} + C$

Etapa 12.7.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f (x, y) = \frac{y (2 x^{2} + 2 y x + y \cdot - 1)}{2} + C$

Etapa 12.7.5

Mova $- 1$ para a esquerda de $y$ .

$f (x, y) = \frac{y (2 x^{2} + 2 y x - 1 \cdot y)}{2} + C$

Etapa 12.7.6

Simplifique cada termo.

$f (x, y) = \frac{y (2 x^{2} + 2 y x - y)}{2} + C$