Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{x^{2} - 1}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Reagrupe os fatores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x^{2} - 1} y$

Etapa 1.2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (\frac{x}{x^{2} - 1} y)$

Etapa 1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1

Fatore $y$ de $\frac{x}{x^{2} - 1} y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x}{x^{2} - 1})$

Etapa 1.3.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x}{x^{2} - 1})$

Etapa 1.3.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{x^{2} - 1}$

Etapa 1.3.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{x^{2} - 1^{2}}$

Etapa 1.3.2.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{(x + 1) (x - 1)}$

Etapa 1.4

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y} d y = \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Etapa 2.2

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Deixe $u = (x + 1) (x - 1)$ . Depois, $d u = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Deixe $u = (x + 1) (x - 1)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1.1

Diferencie $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)]$

Etapa 2.3.1.1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x + 1$ e $g (x) = x - 1$ .

$(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 2.3.1.1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 2.3.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 2.3.1.1.3.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$(x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 2.3.1.1.3.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1.3.4.1

Some $1$ e $0$ .

$(x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 2.3.1.1.3.4.2

Multiplique $x + 1$ por $1$ .

$x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 2.3.1.1.3.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 2.3.1.1.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x + 1 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 2.3.1.1.3.7

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$x + 1 + (x - 1) (1 + 0)$

Etapa 2.3.1.1.3.8

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1.3.8.1

Some $1$ e $0$ .

$x + 1 + (x - 1) \cdot 1$

Etapa 2.3.1.1.3.8.2

Multiplique $x - 1$ por $1$ .

$x + 1 + x - 1$

Etapa 2.3.1.1.3.8.3

Some $x$ e $x$ .

$2 x + 1 - 1$

Etapa 2.3.1.1.3.8.4

Simplifique subtraindo os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1.3.8.4.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$2 x + 0$

Etapa 2.3.1.1.3.8.4.2

Some $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Etapa 2.3.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 2.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Etapa 2.3.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{2 u} d u$

Etapa 2.3.3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 2.3.4

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

Etapa 2.3.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $(x + 1) (x - 1)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\ln (| (x + 1) (x - 1) |)$ .

$\ln (| y |) = \frac{\ln (| (x + 1) (x - 1) |)}{2} + C$

Etapa 3.2

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| (x + 1) (x - 1) |)}{2} = C$

Etapa 3.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Expanda $(x + 1) (x - 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| x (x - 1) + 1 (x - 1) |)}{2} = C$

Etapa 3.3.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) |)}{2} = C$

Etapa 3.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |)}{2} = C$

Etapa 3.3.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |)}{2} = C$

Etapa 3.3.2.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 |)}{2} = C$

Etapa 3.3.2.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 |)}{2} = C$

Etapa 3.3.2.1.4

Multiplique $x$ por $1$ .

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 |)}{2} = C$

Etapa 3.3.2.1.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| x^{2} - x + x - 1 |)}{2} = C$

Etapa 3.3.2.2

Some $- x$ e $x$ .

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| x^{2} + 0 - 1 |)}{2} = C$

Etapa 3.3.2.3

Some $x^{2}$ e $0$ .

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| x^{2} - 1 |)}{2} = C$

Etapa 3.4

Para escrever $\ln (| y |)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| y |) \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (| x^{2} - 1 |)}{2} = C$

Etapa 3.5

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Combine $\ln (| y |)$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (| y |) \cdot 2}{2} - \frac{\ln (| x^{2} - 1 |)}{2} = C$

Etapa 3.5.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\ln (| y |) \cdot 2 - \ln (| x^{2} - 1 |)}{2} = C$

Etapa 3.6

Mova $2$ para a esquerda de $\ln (| y |)$ .

$\frac{2 \ln (| y |) - \ln (| x^{2} - 1 |)}{2} = C$

Etapa 3.7

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1

Simplifique $\frac{2 \ln (| y |) - \ln (| x^{2} - 1 |)}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1.1.1

Simplifique $2 \ln (| y |)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\frac{\ln ({| y |}^{2}) - \ln (| x^{2} - 1 |)}{2} = C$

Etapa 3.7.1.1.2

Remova o valor absoluto em ${| y |}^{2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$\frac{\ln (y^{2}) - \ln (| x^{2} - 1 |)}{2} = C$

Etapa 3.7.1.1.3

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} - 1 |})}{2} = C$

Etapa 3.7.1.1.4

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1.1.4.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} - 1^{2} |})}{2} = C$

Etapa 3.7.1.1.4.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| (x + 1) (x - 1) |})}{2} = C$

Etapa 3.7.1.1.4.3

Expanda $(x + 1) (x - 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1.1.4.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| x (x - 1) + 1 (x - 1) |})}{2} = C$

Etapa 3.7.1.1.4.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) |})}{2} = C$

Etapa 3.7.1.1.4.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |})}{2} = C$

Etapa 3.7.1.1.4.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1.1.4.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1.1.4.4.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |})}{2} = C$

Etapa 3.7.1.1.4.4.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 |})}{2} = C$

Etapa 3.7.1.1.4.4.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 |})}{2} = C$

Etapa 3.7.1.1.4.4.1.4

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 |})}{2} = C$

Etapa 3.7.1.1.4.4.1.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} - x + x - 1 |})}{2} = C$

Etapa 3.7.1.1.4.4.2

Some $- x$ e $x$ .

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} + 0 - 1 |})}{2} = C$

Etapa 3.7.1.1.4.4.3

Some $x^{2}$ e $0$ .

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} - 1 |})}{2} = C$

Etapa 3.7.1.1.4.5

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} - 1^{2} |})}{2} = C$

Etapa 3.7.1.1.4.6

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| (x + 1) (x - 1) |})}{2} = C$

Etapa 3.7.1.2

Reescreva $\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| (x + 1) (x - 1) |})}{2}$ como $\frac{1}{2} \ln (\frac{y^{2}}{| (x + 1) (x - 1) |})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{y^{2}}{| (x + 1) (x - 1) |}) = C$

Etapa 3.7.1.3

Simplifique $\frac{1}{2} \ln (\frac{y^{2}}{| (x + 1) (x - 1) |})$ movendo $\frac{1}{2}$ para dentro do logaritmo.

$\ln ({(\frac{y^{2}}{| (x + 1) (x - 1) |})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Etapa 3.7.1.4

Aplique a regra do produto a $\frac{y^{2}}{| (x + 1) (x - 1) |}$ .

$\ln (\frac{{(y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{| (x + 1) (x - 1) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Etapa 3.7.1.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1.5.1

Multiplique os expoentes em ${(y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1.5.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{y^{2 (\frac{1}{2})}}{{| (x + 1) (x - 1) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Etapa 3.7.1.5.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1.5.1.2.1

Cancele o fator comum.

$\ln (\frac{y^{2 (\frac{1}{2})}}{{| (x + 1) (x - 1) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Etapa 3.7.1.5.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\ln (\frac{y^{1}}{{| (x + 1) (x - 1) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Etapa 3.7.1.5.2

Simplifique.

$\ln (\frac{y}{{| (x + 1) (x - 1) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Etapa 3.7.1.6

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1.6.1

Expanda $(x + 1) (x - 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1.6.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (\frac{y}{{| x (x - 1) + 1 (x - 1) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Etapa 3.7.1.6.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (\frac{y}{{| x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Etapa 3.7.1.6.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (\frac{y}{{| x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Etapa 3.7.1.6.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1.6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1.6.2.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\ln (\frac{y}{{| x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Etapa 3.7.1.6.2.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$\ln (\frac{y}{{| x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Etapa 3.7.1.6.2.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$\ln (\frac{y}{{| x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Etapa 3.7.1.6.2.1.4

Multiplique $x$ por $1$ .

$\ln (\frac{y}{{| x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Etapa 3.7.1.6.2.1.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\ln (\frac{y}{{| x^{2} - x + x - 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Etapa 3.7.1.6.2.2

Some $- x$ e $x$ .

$\ln (\frac{y}{{| x^{2} + 0 - 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Etapa 3.7.1.6.2.3

Some $x^{2}$ e $0$ .

$\ln (\frac{y}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Etapa 3.8

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (\frac{y}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}})} = e^{C}$

Etapa 3.9

Reescreva $\ln (\frac{y}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{y}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3.10

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.1

Reescreva a equação como $\frac{y}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$ .

$\frac{y}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$

Etapa 3.10.2

Multiplique os dois lados por ${| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}} {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 3.10.3

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.3.1

Cancele o fator comum de ${| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}} {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 3.10.3.1.2

Reescreva a expressão.

$y = e^{C} {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = C {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}$