Cálculo Exemplos

$x e^{y} d y + (\frac{x^{2} + 1}{y}) d x = 0$

Etapa 1

Subtraia $\frac{x^{2} + 1}{y} d x$ dos dois lados da equação.

$x e^{y} d y = - \frac{x^{2} + 1}{y} d x$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} (x e^{y}) d y = \frac{y}{x} (- \frac{x^{2} + 1}{y}) d x$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 3.1.1

Fatore $x$ de $x e^{y}$ .

$\frac{y}{x} (x (e^{y})) d y = \frac{y}{x} (- \frac{x^{2} + 1}{y}) d x$

Etapa 3.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{y}{x} (x e^{y}) d y = \frac{y}{x} (- \frac{x^{2} + 1}{y}) d x$

Etapa 3.1.3

Reescreva a expressão.

$y e^{y} d y = \frac{y}{x} (- \frac{x^{2} + 1}{y}) d x$

Etapa 3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y e^{y} d y = - \frac{y}{x} \cdot \frac{x^{2} + 1}{y} d x$

Etapa 3.3

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 3.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{y}{x}$ para o numerador.

$y e^{y} d y = \frac{- y}{x} \cdot \frac{x^{2} + 1}{y} d x$

Etapa 3.3.2

Fatore $y$ de $- y$ .

$y e^{y} d y = \frac{y \cdot - 1}{x} \cdot \frac{x^{2} + 1}{y} d x$

Etapa 3.3.3

Cancele o fator comum.

$y e^{y} d y = \frac{y \cdot - 1}{x} \cdot \frac{x^{2} + 1}{y} d x$

Etapa 3.3.4

Reescreva a expressão.

$y e^{y} d y = \frac{- 1}{x} (x^{2} + 1) d x$

Etapa 3.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y e^{y} d y = - \frac{1}{x} (x^{2} + 1) d x$

Etapa 3.5

Aplique a propriedade distributiva.

$y e^{y} d y = (- \frac{1}{x} x^{2} - \frac{1}{x} \cdot 1) d x$

Etapa 3.6

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 3.6.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{x}$ para o numerador.

$y e^{y} d y = (\frac{- 1}{x} x^{2} - \frac{1}{x} \cdot 1) d x$

Etapa 3.6.2

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$y e^{y} d y = (\frac{- 1}{x} (x \cdot x) - \frac{1}{x} \cdot 1) d x$

Etapa 3.6.3

Cancele o fator comum.

$y e^{y} d y = (\frac{- 1}{x} (x \cdot x) - \frac{1}{x} \cdot 1) d x$

Etapa 3.6.4

Reescreva a expressão.

$y e^{y} d y = (- x - \frac{1}{x} \cdot 1) d x$

Etapa 3.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$y e^{y} d y = (- x - \frac{1}{x}) d x$

Etapa 4

Integre os dois lados.

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Etapa 4.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int y e^{y} d y = \int - x - \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = y$ e $d v = e^{y}$ .

$y e^{y} - \int e^{y} d y = \int - x - \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.2.2

A integral de $e^{y}$ com relação a $y$ é $e^{y}$ .

$y e^{y} - (e^{y} + C_{1}) = \int - x - \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.2.3

Simplifique.

$y e^{y} - e^{y} + C_{1} = \int - x - \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.2.4

Reordene os termos.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \int - x - \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.3

Integre o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \int - x d x + \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.3.2

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - \int x d x + \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.3.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.3.4

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.3.5

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - (\ln (| x |) + C_{3})$

Etapa 4.3.6

Simplifique.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + C_{4}$

Etapa 4.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$e^{y} y - e^{y} = - \frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + C$