Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = y^{- 2} \ln (x)$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y^{- 2}}$ .

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{- 2}} (y^{- 2} \ln (x))$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $y^{- 2}$ .

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Etapa 1.2.1

Fatore $y^{- 2}$ de $y^{- 2} \ln (x)$ .

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{- 2}} (y^{- 2} (\ln (x)))$

Etapa 1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{- 2}} (y^{- 2} \ln (x))$

Etapa 1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = \ln (x)$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y^{- 2}} d y = \ln (x) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y^{- 2}} d y = \int \ln (x) d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Mova $y^{- 2}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$\int y^{2} d y = \int \ln (x) d x$

Etapa 2.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \ln (x) d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \ln (x)$ e $d v = 1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \ln (x) x - \int x \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.3.2

Simplifique.

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Etapa 2.3.2.1

Combine $x$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x$

Etapa 2.3.2.2

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x$

Etapa 2.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \ln (x) x - \int d x$

Etapa 2.3.3

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \ln (x) x - (x + C_{2})$

Etapa 2.3.4

Simplifique.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \ln (x) x - x + C_{2}$

Etapa 2.3.5

Reordene os termos.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = x \ln (x) - x + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = x \ln (x) - x + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Multiplique os dois lados da equação por $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (x \ln (x) - x + K)$

Etapa 3.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1.1

Simplifique $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

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Etapa 3.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (x \ln (x) - x + K)$

Etapa 3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (x \ln (x) - x + K)$

Etapa 3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{3} = 3 (x \ln (x) - x + K)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Simplifique $3 (x \ln (x) - x + K)$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{3} = 3 (x \ln (x)) + 3 (- x) + 3 K$

Etapa 3.2.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$y^{3} = 3 x \ln (x) - 3 x + 3 K$

Etapa 3.3

Simplifique $3 \ln (x)$ movendo $3$ para dentro do logaritmo.

$y^{3} = x \ln (x^{3}) - 3 x + 3 K$

Etapa 3.4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \sqrt[3]{x \ln (x^{3}) - 3 x + 3 K}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \sqrt[3]{x \ln (x^{3}) - 3 x + K}$