Cálculo Exemplos

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + \frac{d y}{d x} - 12 y = 5 x + 8$

Etapa 1

Assuma que todas as soluções são da forma $y = e^{r x}$ .

Etapa 2

Encontre a equação característica para $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + \frac{d y}{d x} - 12 y = 5 x + 8$ .

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Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

$\frac{d y}{d x} = r e^{r x}$

Etapa 2.2

Encontre a segunda derivada.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = r^{2} e^{r x}$

Etapa 2.3

Substitua na equação diferencial.

$r^{2} e^{r x} + r e^{r x} - 12 e^{r x} = 5 x + 8$

Etapa 2.4

Fatore $e^{r x}$ .

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Etapa 2.4.1

Fatore $e^{r x}$ de $r^{2} e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} + r e^{r x} - 12 e^{r x} = 5 x + 8$

Etapa 2.4.2

Fatore $e^{r x}$ de $r e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} r - 12 e^{r x} = 5 x + 8$

Etapa 2.4.3

Fatore $e^{r x}$ de $e^{r x} r^{2} + e^{r x} r$ .

$e^{r x} (r^{2} + r) - 12 e^{r x} = 5 x + 8$

Etapa 2.4.4

Fatore $e^{r x}$ de $- 12 e^{r x}$ .

$e^{r x} (r^{2} + r) + e^{r x} \cdot - 12 = 5 x + 8$

Etapa 2.4.5

Fatore $e^{r x}$ de $e^{r x} (r^{2} + r) + e^{r x} \cdot - 12$ .

$e^{r x} (r^{2} + r - 12) = 5 x + 8$

Etapa 2.5

Como as exponenciais nunca podem ser zero, divida ambos os lados por $e^{r x}$ .

$r^{2} + r - 12 = 5 x + 8$

Etapa 3

Resolva $r$ .

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Etapa 3.1

Mova todos os termos para o lado esquerdo da equação e simplifique.

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Etapa 3.1.1

Mova todas as expressões para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.1.1.1

Subtraia $5 x$ dos dois lados da equação.

$r^{2} + r - 12 - 5 x = 8$

Etapa 3.1.1.2

Subtraia $8$ dos dois lados da equação.

$r^{2} + r - 12 - 5 x - 8 = 0$

Etapa 3.1.2

Subtraia $8$ de $- 12$ .

$r^{2} + r - 5 x - 20 = 0$

Etapa 3.2

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3.3

Substitua os valores $a = 1$ , $b = 1$ e $c = - 5 x - 20$ na fórmula quadrática e resolva $r$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 5 x - 20))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4

Simplifique.

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Etapa 3.4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.4.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 5 x - 20)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.1.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 5 x - 20)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 (- 5 x) - 4 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.1.4

Multiplique $- 5$ por $- 4$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 20 x - 4 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.1.5

Multiplique $- 4$ por $- 20$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 20 x + 80}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.1.6

Some $1$ e $80$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{20 x + 81}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{20 x + 81}}{2}$

Etapa 3.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

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Etapa 3.5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.5.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 5 x - 20)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.1.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 5 x - 20)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 (- 5 x) - 4 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.1.4

Multiplique $- 5$ por $- 4$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 20 x - 4 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.1.5

Multiplique $- 4$ por $- 20$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 20 x + 80}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.1.6

Some $1$ e $80$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{20 x + 81}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{20 x + 81}}{2}$

Etapa 3.5.3

Altere $\pm$ para $+$ .

$r = \frac{- 1 + \sqrt{20 x + 81}}{2}$

Etapa 3.5.4

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$r = \frac{- 1 \cdot 1 + \sqrt{20 x + 81}}{2}$

Etapa 3.5.5

Fatore $- 1$ de $\sqrt{20 x + 81}$ .

$r = \frac{- 1 \cdot 1 - 1 (- \sqrt{20 x + 81})}{2}$

Etapa 3.5.6

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - 1 (- \sqrt{20 x + 81})$ .

$r = \frac{- 1 (1 - \sqrt{20 x + 81})}{2}$

Etapa 3.5.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$r = - \frac{1 - \sqrt{20 x + 81}}{2}$

Etapa 3.6

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

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Etapa 3.6.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.6.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 5 x - 20)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.1.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 5 x - 20)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 (- 5 x) - 4 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.1.4

Multiplique $- 5$ por $- 4$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 20 x - 4 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.1.5

Multiplique $- 4$ por $- 20$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 20 x + 80}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.1.6

Some $1$ e $80$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{20 x + 81}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.6.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{20 x + 81}}{2}$

Etapa 3.6.3

Altere $\pm$ para $-$ .

$r = \frac{- 1 - \sqrt{20 x + 81}}{2}$

Etapa 3.6.4

Fatore $- 1$ de $- 1 - \sqrt{20 x + 81}$ .

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Etapa 3.6.4.1

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$r = \frac{- 1 \cdot 1 - \sqrt{20 x + 81}}{2}$

Etapa 3.6.4.2

Fatore $- 1$ de $- \sqrt{20 x + 81}$ .

$r = \frac{- 1 \cdot 1 - (\sqrt{20 x + 81})}{2}$

Etapa 3.6.4.3

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - (\sqrt{20 x + 81})$ .

$r = \frac{- 1 (1 + \sqrt{20 x + 81})}{2}$

Etapa 3.6.4.4

Reescreva $- 1 (1 + \sqrt{20 x + 81})$ como $- (1 + \sqrt{20 x + 81})$ .

$r = \frac{- (1 + \sqrt{20 x + 81})}{2}$

Etapa 3.6.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$r = - \frac{1 + \sqrt{20 x + 81}}{2}$

Etapa 3.7

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$r = - \frac{1 - \sqrt{20 x + 81}}{2}$

$r = - \frac{1 + \sqrt{20 x + 81}}{2}$

$r = - \frac{1 - \sqrt{20 x + 81}}{2}$

$r = - \frac{1 + \sqrt{20 x + 81}}{2}$

Etapa 4

Com os dois valores encontrados de $r$ , duas soluções podem ser construídas.

$y_{1} = e^{- \frac{1 - \sqrt{20 x + 81}}{2} x}$

$y_{2} = e^{- \frac{1 + \sqrt{20 x + 81}}{2} x}$

Etapa 5

Pelo princípio da superposição, a solução geral é uma combinação linear das duas soluções para uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem.

$y = c_{1} e^{- \frac{1 - \sqrt{20 x + 81}}{2} x} + c_{2} e^{- \frac{1 + \sqrt{20 x + 81}}{2} x}$

Etapa 6

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.1

Combine $x$ e $\frac{1 - \sqrt{20 x + 81}}{2}$ .

$y = c_{1} e^{- \frac{x (1 - \sqrt{20 x + 81})}{2}} + c_{2} e^{- \frac{1 + \sqrt{20 x + 81}}{2} x}$

Etapa 6.2

Combine $x$ e $\frac{1 + \sqrt{20 x + 81}}{2}$ .

$y = c_{1} e^{- \frac{x (1 - \sqrt{20 x + 81})}{2}} + c_{2} e^{- \frac{x (1 + \sqrt{20 x + 81})}{2}}$