Cálculo Exemplos

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 1

Integre os dois lados.

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Etapa 1.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 1.2

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 1.3

Integre o lado direito.

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Etapa 1.3.1

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 1.3.1.1

Mova $x^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Etapa 1.3.1.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 1.3.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Etapa 1.3.1.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- 2} d x$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 2}$ com relação a $x$ é $- x^{- 1}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2}$

Etapa 1.3.3

Reescreva $- x^{- 1} + C_{2}$ como $- \frac{1}{x} + C_{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{x} + C_{2}$

Etapa 1.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| y |) = - \frac{1}{x} + C$

Etapa 2

Resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- \frac{1}{x} + C}$

Etapa 2.2

Reescreva $\ln (| y |) = - \frac{1}{x} + C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{x} + C} = | y |$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Reescreva a equação como $| y | = e^{- \frac{1}{x} + C}$ .

$| y | = e^{- \frac{1}{x} + C}$

Etapa 2.3.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- \frac{1}{x} + C}$

Etapa 3

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 3.1

Reescreva $e^{- \frac{1}{x} + C}$ como $e^{- \frac{1}{x}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- \frac{1}{x}} e^{C}$

Etapa 3.2

Reordene $e^{- \frac{1}{x}}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- \frac{1}{x}}$

Etapa 3.3

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = C e^{- \frac{1}{x}}$