Cálculo Exemplos

$t \frac{d y}{d t} - 5 t = - y$

Etapa 1

Reescreva a equação como $M (t) \frac{d y}{d t} + P (t) y = Q (t)$ .

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Etapa 1.1

Some $y$ aos dois lados da equação.

$t \frac{d y}{d t} - 5 t + y = 0$

Etapa 1.2

Some $5 t$ aos dois lados da equação.

$t \frac{d y}{d t} + y = 5 t$

Etapa 2

Verifique se o lado esquerdo da equação é o resultado da derivada do termo $t y$ .

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ é $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , em que $f (t) = t$ e $g (t) = y$ .

$t \frac{d}{d t} [y] + y \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 2.2

Reescreva $\frac{d}{d t} [y]$ como $y'$ .

$t y' + y \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$t y' + y \cdot 1$

Etapa 2.4

Substitua $\frac{d y}{d t}$ por $y'$ .

$t \frac{d y}{d t} + y \cdot 1$

Etapa 2.5

Reordene $y$ e $1$ .

$t \frac{d y}{d t} + 1 \cdot y$

Etapa 2.6

Multiplique $y$ por $1$ .

$t \frac{d y}{d t} + y$

Etapa 3

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d t} [t y] = 5 t$

Etapa 4

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d t} [t y] d t = \int 5 t d t$

Etapa 5

Integre o lado esquerdo.

$t y = \int 5 t d t$

Etapa 6

Integre o lado direito.

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Etapa 6.1

Como $5$ é constante com relação a $t$ , mova $5$ para fora da integral.

$t y = 5 \int t d t$

Etapa 6.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $t$ com relação a $t$ é $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$t y = 5 (\frac{1}{2} t^{2} + C)$

Etapa 6.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.3.1

Reescreva $5 (\frac{1}{2} t^{2} + C)$ como $5 (\frac{1}{2}) t^{2} + C$ .

$t y = 5 (\frac{1}{2}) t^{2} + C$

Etapa 6.3.2

Combine $5$ e $\frac{1}{2}$ .

$t y = \frac{5}{2} t^{2} + C$

Etapa 7

Divida cada termo em $t y = \frac{5}{2} t^{2} + C$ por $t$ e simplifique.

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Etapa 7.1

Divida cada termo em $t y = \frac{5}{2} t^{2} + C$ por $t$ .

$\frac{t y}{t} = \frac{\frac{5}{2} t^{2}}{t} + \frac{C}{t}$

Etapa 7.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.1

Cancele o fator comum de $t$ .

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Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{t y}{t} = \frac{\frac{5}{2} t^{2}}{t} + \frac{C}{t}$

Etapa 7.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{5}{2} t^{2}}{t} + \frac{C}{t}$

Etapa 7.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.3.1.1

Cancele o fator comum de $t^{2}$ e $t$ .

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Etapa 7.3.1.1.1

Fatore $t$ de $\frac{5}{2} t^{2}$ .

$y = \frac{t (\frac{5}{2} t)}{t} + \frac{C}{t}$

Etapa 7.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 7.3.1.1.2.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$y = \frac{t (\frac{5}{2} t)}{t^{1}} + \frac{C}{t}$

Etapa 7.3.1.1.2.2

Fatore $t$ de $t^{1}$ .

$y = \frac{t (\frac{5}{2} t)}{t \cdot 1} + \frac{C}{t}$

Etapa 7.3.1.1.2.3

Cancele o fator comum.

$y = \frac{t (\frac{5}{2} t)}{t \cdot 1} + \frac{C}{t}$

Etapa 7.3.1.1.2.4

Reescreva a expressão.

$y = \frac{\frac{5}{2} t}{1} + \frac{C}{t}$

Etapa 7.3.1.1.2.5

Divida $\frac{5}{2} t$ por $1$ .

$y = \frac{5}{2} t + \frac{C}{t}$

Etapa 7.3.1.2

Combine $\frac{5}{2}$ e $t$ .

$y = \frac{5 t}{2} + \frac{C}{t}$