Cálculo Exemplos

$\frac{d s}{d t} = 8 \sin^{2} (t - \frac{π}{12})$ , $s (0) = 8$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d s = 8 \sin^{2} (t - \frac{π}{12}) d t$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d s = \int 8 \sin^{2} (t - \frac{π}{12}) d t$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$s + C_{1} = \int 8 \sin^{2} (t - \frac{π}{12}) d t$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $8$ é constante com relação a $t$ , mova $8$ para fora da integral.

$s + C_{1} = 8 \int \sin^{2} (t - \frac{π}{12}) d t$

Etapa 2.3.2

Deixe $u_{1} = t - \frac{π}{12}$ . Depois, $d u_{1} = d t$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Deixe $u_{1} = t - \frac{π}{12}$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1

Diferencie $t - \frac{π}{12}$ .

$\frac{d}{d t} [t - \frac{π}{12}]$

Etapa 2.3.2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t - \frac{π}{12}$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- \frac{π}{12}]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- \frac{π}{12}]$

Etapa 2.3.2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [- \frac{π}{12}]$

Etapa 2.3.2.1.4

Como $- \frac{π}{12}$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- \frac{π}{12}$ em relação a $t$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.3.2.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.3.2.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$s + C_{1} = 8 \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 2.3.3

Use a fórmula do arco metade para reescrever $\sin^{2} (u_{1})$ como $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$s + C_{1} = 8 \int \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Etapa 2.3.4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$s + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $8$ .

$s + C_{1} = \frac{8}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Etapa 2.3.5.2

Cancele o fator comum de $8$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.2.1

Fatore $2$ de $8$ .

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Etapa 2.3.5.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 (1)} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Etapa 2.3.5.2.2.2

Cancele o fator comum.

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Etapa 2.3.5.2.2.3

Reescreva a expressão.

$s + C_{1} = \frac{4}{1} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Etapa 2.3.5.2.2.4

Divida $4$ por $1$ .

$s + C_{1} = 4 \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Etapa 2.3.6

Divida a integral única em várias integrais.

$s + C_{1} = 4 (\int d u_{1} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Etapa 2.3.7

Aplique a regra da constante.

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Etapa 2.3.8

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} - \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Etapa 2.3.9

Deixe $u_{2} = 2 u_{1}$ . Depois, $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , então, $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 2.3.9.1

Deixe $u_{2} = 2 u_{1}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Etapa 2.3.9.1.1

Diferencie $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Etapa 2.3.9.1.2

Como $2$ é constante em relação a $u_{1}$ , a derivada de $2 u_{1}$ em relação a $u_{1}$ é $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Etapa 2.3.9.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 2.3.9.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 2.3.9.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} - \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Etapa 2.3.10

Combine $\cos (u_{2})$ e $\frac{1}{2}$ .

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} - \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Etapa 2.3.11

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

Etapa 2.3.12

A integral de $\cos (u_{2})$ com relação a $u_{2}$ é $\sin (u_{2})$ .

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} - \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C_{3}))$

Etapa 2.3.13

Simplifique.

$s + C_{1} = 4 (u_{1} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C_{4}$

Etapa 2.3.14

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 2.3.14.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $t - \frac{π}{12}$ .

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C_{4}$

Etapa 2.3.14.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 u_{1}$ .

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C_{4}$

Etapa 2.3.14.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $t - \frac{π}{12}$ .

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 (t - \frac{π}{12}))) + C_{4}$

Etapa 2.3.15

Simplifique.

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Etapa 2.3.15.1

Aplique a propriedade distributiva.

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 t + 2 (- \frac{π}{12}))) + C_{4}$

Etapa 2.3.15.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.15.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{π}{12}$ para o numerador.

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 t + 2 \frac{- π}{12})) + C_{4}$

Etapa 2.3.15.2.2

Fatore $2$ de $12$ .

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 t + 2 \frac{- π}{2 (6)})) + C_{4}$

Etapa 2.3.15.2.3

Cancele o fator comum.

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 t + 2 \frac{- π}{2 \cdot 6})) + C_{4}$

Etapa 2.3.15.2.4

Reescreva a expressão.

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 t + \frac{- π}{6})) + C_{4}$

Etapa 2.3.15.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 t - \frac{π}{6})) + C_{4}$

Etapa 2.3.15.4

Combine $\sin (2 t - \frac{π}{6})$ e $\frac{1}{2}$ .

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{\sin (2 t - \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

Etapa 2.3.15.5

Aplique a propriedade distributiva.

$s + C_{1} = 4 t + 4 (- \frac{π}{12}) + 4 (- \frac{\sin (2 t - \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

Etapa 2.3.15.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.15.6.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.15.6.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{π}{12}$ para o numerador.

$s + C_{1} = 4 t + 4 \frac{- π}{12} + 4 (- \frac{\sin (2 t - \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

Etapa 2.3.15.6.1.2

Fatore $4$ de $12$ .

$s + C_{1} = 4 t + 4 \frac{- π}{4 (3)} + 4 (- \frac{\sin (2 t - \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

Etapa 2.3.15.6.1.3

Cancele o fator comum.

$s + C_{1} = 4 t + 4 \frac{- π}{4 \cdot 3} + 4 (- \frac{\sin (2 t - \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

Etapa 2.3.15.6.1.4

Reescreva a expressão.

$s + C_{1} = 4 t + \frac{- π}{3} + 4 (- \frac{\sin (2 t - \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

Etapa 2.3.15.6.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.15.6.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\sin (2 t - \frac{π}{6})}{2}$ para o numerador.

$s + C_{1} = 4 t + \frac{- π}{3} + 4 \frac{- \sin (2 t - \frac{π}{6})}{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.15.6.2.2

Fatore $2$ de $4$ .

$s + C_{1} = 4 t + \frac{- π}{3} + 2 (2) \frac{- \sin (2 t - \frac{π}{6})}{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.15.6.2.3

Cancele o fator comum.

$s + C_{1} = 4 t + \frac{- π}{3} + 2 \cdot 2 \frac{- \sin (2 t - \frac{π}{6})}{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.15.6.2.4

Reescreva a expressão.

$s + C_{1} = 4 t + \frac{- π}{3} + 2 (- \sin (2 t - \frac{π}{6})) + C_{4}$

Etapa 2.3.15.6.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$s + C_{1} = 4 t + \frac{- π}{3} - 2 \sin (2 t - \frac{π}{6}) + C_{4}$

Etapa 2.3.15.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$s + C_{1} = 4 t - \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t - \frac{π}{6}) + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$s = 4 t - \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t - \frac{π}{6}) + K$

Etapa 3

Use a condição inicial para encontrar o valor de $K$ , substituindo $0$ por $t$ e $8$ por $s$ em $s = 4 t - \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t - \frac{π}{6}) + K$ .

$8 = 4 \cdot 0 - \frac{π}{3} - 2 \sin (2 \cdot 0 - \frac{π}{6}) + K$

Etapa 4

Resolva $K$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como $4 \cdot 0 - \frac{π}{3} - 2 \sin (2 \cdot 0 - \frac{π}{6}) + K = 8$ .

$4 \cdot 0 - \frac{π}{3} - 2 \sin (2 \cdot 0 - \frac{π}{6}) + K = 8$

Etapa 4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Simplifique $4 \cdot 0 - \frac{π}{3} - 2 \sin (2 \cdot 0 - \frac{π}{6}) + K$ .

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Etapa 4.2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1.1

Multiplique $4$ por $0$ .

$0 - \frac{π}{3} - 2 \sin (2 \cdot 0 - \frac{π}{6}) + K = 8$

Etapa 4.2.1.1.2

Multiplique $2$ por $0$ .

$0 - \frac{π}{3} - 2 \sin (0 - \frac{π}{6}) + K = 8$

Etapa 4.2.1.1.3

Subtraia $\frac{π}{6}$ de $0$ .

$0 - \frac{π}{3} - 2 \sin (- \frac{π}{6}) + K = 8$

Etapa 4.2.1.1.4

Some as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$0 - \frac{π}{3} - 2 \sin (\frac{11 π}{6}) + K = 8$

Etapa 4.2.1.1.5

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$0 - \frac{π}{3} - 2 (- \sin (\frac{π}{6})) + K = 8$

Etapa 4.2.1.1.6

O valor exato de $\sin (\frac{π}{6})$ é $\frac{1}{2}$ .

$0 - \frac{π}{3} - 2 (- \frac{1}{2}) + K = 8$

Etapa 4.2.1.1.7

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.1.1.7.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{2}$ para o numerador.

$0 - \frac{π}{3} - 2 (\frac{- 1}{2}) + K = 8$

Etapa 4.2.1.1.7.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$0 - \frac{π}{3} + 2 (- 1) \frac{- 1}{2} + K = 8$

Etapa 4.2.1.1.7.3

Cancele o fator comum.

$0 - \frac{π}{3} + 2 \cdot - 1 \frac{- 1}{2} + K = 8$

Etapa 4.2.1.1.7.4

Reescreva a expressão.

$0 - \frac{π}{3} - 1 \cdot - 1 + K = 8$

Etapa 4.2.1.1.8

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$0 - \frac{π}{3} + 1 + K = 8$

Etapa 4.2.1.2

Subtraia $\frac{π}{3}$ de $0$ .

$- \frac{π}{3} + 1 + K = 8$

Etapa 4.3

Mova todos os termos que não contêm $K$ para o lado direito da equação.

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Etapa 4.3.1

Some $\frac{π}{3}$ aos dois lados da equação.

$1 + K = 8 + \frac{π}{3}$

Etapa 4.3.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$K = 8 + \frac{π}{3} - 1$

Etapa 4.3.3

Subtraia $1$ de $8$ .

$K = 7 + \frac{π}{3}$

Etapa 5

Substitua $7 + \frac{π}{3}$ por $K$ em $s = 4 t - \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t - \frac{π}{6}) + K$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Substitua $7 + \frac{π}{3}$ por $K$ .

$s = 4 t - \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t - \frac{π}{6}) + 7 + \frac{π}{3}$

Etapa 5.2

Combine os termos opostos em $4 t - \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t - \frac{π}{6}) + 7 + \frac{π}{3}$ .

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Etapa 5.2.1

Some $- \frac{π}{3}$ e $\frac{π}{3}$ .

$s = 4 t + 0 - 2 \sin (2 t - \frac{π}{6}) + 7$

Etapa 5.2.2

Some $4 t$ e $0$ .

$s = 4 t - 2 \sin (2 t - \frac{π}{6}) + 7$