Cálculo Exemplos

$3 x \frac{d y}{d x} = 5 - x^{3}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Divida cada termo em $3 x \frac{d y}{d x} = 5 - x^{3}$ por $3 x$ e simplifique.

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Etapa 1.1.1

Divida cada termo em $3 x \frac{d y}{d x} = 5 - x^{3}$ por $3 x$ .

$\frac{3 x \frac{d y}{d x}}{3 x} = \frac{5}{3 x} + \frac{- x^{3}}{3 x}$

Etapa 1.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 1.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x \frac{d y}{d x}}{3 x} = \frac{5}{3 x} + \frac{- x^{3}}{3 x}$

Etapa 1.1.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{5}{3 x} + \frac{- x^{3}}{3 x}$

Etapa 1.1.2.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{5}{3 x} + \frac{- x^{3}}{3 x}$

Etapa 1.1.2.2.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5}{3 x} + \frac{- x^{3}}{3 x}$

Etapa 1.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.1.1

Cancele o fator comum de $x^{3}$ e $x$ .

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Etapa 1.1.3.1.1.1

Fatore $x$ de $- x^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5}{3 x} + \frac{x (- x^{2})}{3 x}$

Etapa 1.1.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.1.3.1.1.2.1

Fatore $x$ de $3 x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5}{3 x} + \frac{x (- x^{2})}{x \cdot 3}$

Etapa 1.1.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{5}{3 x} + \frac{x (- x^{2})}{x \cdot 3}$

Etapa 1.1.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} = \frac{5}{3 x} + \frac{- x^{2}}{3}$

Etapa 1.1.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d y}{d x} = \frac{5}{3 x} - \frac{x^{2}}{3}$

Etapa 1.2

Reescreva a equação.

$d y = (\frac{5}{3 x} - \frac{x^{2}}{3}) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int \frac{5}{3 x} - \frac{x^{2}}{3} d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int \frac{5}{3 x} - \frac{x^{2}}{3} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$y + C_{1} = \int \frac{5}{3 x} d x + \int - \frac{x^{2}}{3} d x$

Etapa 2.3.2

Como $\frac{5}{3}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{5}{3}$ para fora da integral.

$y + C_{1} = \frac{5}{3} \int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{x^{2}}{3} d x$

Etapa 2.3.3

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = \frac{5}{3} (\ln (| x |) + C_{2}) + \int - \frac{x^{2}}{3} d x$

Etapa 2.3.4

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$y + C_{1} = \frac{5}{3} (\ln (| x |) + C_{2}) - \int \frac{x^{2}}{3} d x$

Etapa 2.3.5

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$y + C_{1} = \frac{5}{3} (\ln (| x |) + C_{2}) - (\frac{1}{3} \int x^{2} d x)$

Etapa 2.3.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{5}{3} (\ln (| x |) + C_{2}) - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3})$

Etapa 2.3.7

Simplifique.

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Etapa 2.3.7.1

Simplifique.

$y + C_{1} = \frac{5}{3} \ln (| x |) - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

Etapa 2.3.7.2

Simplifique.

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Etapa 2.3.7.2.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{5}{3} \ln (| x |) - \frac{1}{3 \cdot 3} x^{3} + C_{4}$

Etapa 2.3.7.2.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$y + C_{1} = \frac{5}{3} \ln (| x |) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$y = \frac{5}{3} \ln (| x |) - \frac{1}{9} x^{3} + C$