Cálculo Exemplos

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = - \frac{1}{x^{3}}$

Etapa 1

Integre os dois lados com relação a $x$ .

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Etapa 1.1

A primeira derivada é igual à integral da segunda derivada com relação a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \int - \frac{1}{x^{3}} d x$

Etapa 1.2

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{d y}{d x} = - \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Etapa 1.3

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 1.3.1

Mova $x^{3}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{d y}{d x} = - \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

Etapa 1.3.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Etapa 1.3.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \int x^{3 \cdot - 1} d x$

Etapa 1.3.2.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} = - \int x^{- 3} d x$

Etapa 1.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 3}$ com relação a $x$ é $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\frac{d y}{d x} = - (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C_{1})$

Etapa 1.5

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.5.1

Simplifique.

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Etapa 1.5.1.1

Combine $x^{- 2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = - (- \frac{x^{- 2}}{2} + C_{1})$

Etapa 1.5.1.2

Mova $x^{- 2}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d y}{d x} = - (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{1})$

Etapa 1.5.2

Simplifique.

$\frac{d y}{d x} = - - \frac{1}{2 x^{2}} + C_{1}$

Etapa 1.5.3

Simplifique.

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Etapa 1.5.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} = 1 \frac{1}{2 x^{2}} + C_{1}$

Etapa 1.5.3.2

Multiplique $\frac{1}{2 x^{2}}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 x^{2}} + C_{1}$

Etapa 2

Reescreva a equação.

$d y = (\frac{1}{2 x^{2}} + C_{1}) d x$

Etapa 3

Integre os dois lados.

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Etapa 3.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int \frac{1}{2 x^{2}} + C_{1} d x$

Etapa 3.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{2} = \int \frac{1}{2 x^{2}} + C_{1} d x$

Etapa 3.3

Integre o lado direito.

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Etapa 3.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$y + C_{2} = \int \frac{1}{2 x^{2}} d x + \int C_{1} d x$

Etapa 3.3.2

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$y + C_{2} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{2}} d x + \int C_{1} d x$

Etapa 3.3.3

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 3.3.3.1

Mova $x^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$y + C_{2} = \frac{1}{2} \int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int C_{1} d x$

Etapa 3.3.3.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 3.3.3.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{2} = \frac{1}{2} \int x^{2 \cdot - 1} d x + \int C_{1} d x$

Etapa 3.3.3.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$y + C_{2} = \frac{1}{2} \int x^{- 2} d x + \int C_{1} d x$

Etapa 3.3.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 2}$ com relação a $x$ é $- x^{- 1}$ .

$y + C_{2} = \frac{1}{2} (- x^{- 1} + C_{3}) + \int C_{1} d x$

Etapa 3.3.5

Aplique a regra da constante.

$y + C_{2} = \frac{1}{2} (- x^{- 1} + C_{3}) + C_{1} x + C_{4}$

Etapa 3.3.6

Simplifique.

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Etapa 3.3.6.1

Simplifique.

$y + C_{2} = \frac{1}{2} (- \frac{1}{x}) + C_{1} x + C_{5}$

Etapa 3.3.6.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x}$ .

$y + C_{2} = - \frac{1}{2 x} + C_{1} x + C_{5}$

Etapa 3.3.7

Reordene os termos.

$y + C_{2} = C_{1} x - \frac{1}{2 x} + C_{5}$

Etapa 3.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $D$ .

$y = C x - \frac{1}{2 x} + D$