Cálculo Exemplos

$\frac{d N}{d t} = 2 (1 - \cos (\frac{2 π t}{24})) N$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{N}$ .

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = \frac{1}{N} (2 (1 - \cos (\frac{2 π t}{24})) N)$

Etapa 1.2

Simplifique.

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Etapa 1.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = 2 \frac{1}{N} ((1 - \cos (\frac{2 π t}{24})) N)$

Etapa 1.2.2

Combine $2$ e $\frac{1}{N}$ .

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = \frac{2}{N} ((1 - \cos (\frac{2 π t}{24})) N)$

Etapa 1.2.3

Cancele o fator comum de $N$ .

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Etapa 1.2.3.1

Fatore $N$ de $(1 - \cos (\frac{2 π t}{24})) N$ .

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = \frac{2}{N} (N (1 - \cos (\frac{2 π t}{24})))$

Etapa 1.2.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = \frac{2}{N} (N (1 - \cos (\frac{2 π t}{24})))$

Etapa 1.2.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = 2 (1 - \cos (\frac{2 π t}{24}))$

Etapa 1.2.4

Cancele o fator comum de $2$ e $24$ .

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Etapa 1.2.4.1

Fatore $2$ de $2 π t$ .

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = 2 (1 - \cos (\frac{2 (π t)}{24}))$

Etapa 1.2.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.2.4.2.1

Fatore $2$ de $24$ .

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = 2 (1 - \cos (\frac{2 (π t)}{2 \cdot 12}))$

Etapa 1.2.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = 2 (1 - \cos (\frac{2 (π t)}{2 \cdot 12}))$

Etapa 1.2.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = 2 (1 - \cos (\frac{π t}{12}))$

Etapa 1.2.5

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = 2 \cdot 1 + 2 (- \cos (\frac{π t}{12}))$

Etapa 1.2.6

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = 2 + 2 (- \cos (\frac{π t}{12}))$

Etapa 1.2.7

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = 2 - 2 \cos (\frac{π t}{12})$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{N} d N = (2 - 2 \cos (\frac{π t}{12})) d t$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{N} d N = \int 2 - 2 \cos (\frac{π t}{12}) d t$

Etapa 2.2

A integral de $\frac{1}{N}$ com relação a $N$ é $\ln (| N |)$ .

$\ln (| N |) + C_{1} = \int 2 - 2 \cos (\frac{π t}{12}) d t$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$\ln (| N |) + C_{1} = \int 2 d t + \int - 2 \cos (\frac{π t}{12}) d t$

Etapa 2.3.2

Aplique a regra da constante.

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t + C_{2} + \int - 2 \cos (\frac{π t}{12}) d t$

Etapa 2.3.3

Como $- 2$ é constante com relação a $t$ , mova $- 2$ para fora da integral.

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t + C_{2} - 2 \int \cos (\frac{π t}{12}) d t$

Etapa 2.3.4

Deixe $u = \frac{π t}{12}$ . Depois, $d u = \frac{π}{12} d t$ , então, $\frac{12}{π} d u = d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.3.4.1

Deixe $u = \frac{π t}{12}$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 2.3.4.1.1

Diferencie $\frac{π t}{12}$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{π t}{12}]$

Etapa 2.3.4.1.2

Como $\frac{π}{12}$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $\frac{π t}{12}$ em relação a $t$ é $\frac{π}{12} \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{π}{12} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 2.3.4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{π}{12} \cdot 1$

Etapa 2.3.4.1.4

Multiplique $\frac{π}{12}$ por $1$ .

$\frac{π}{12}$

Etapa 2.3.4.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t + C_{2} - 2 \int \cos (u) \frac{1}{\frac{π}{12}} d u$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

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Etapa 2.3.5.1

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{π}{12}$ .

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t + C_{2} - 2 \int \cos (u) (1 \frac{12}{π}) d u$

Etapa 2.3.5.2

Multiplique $\frac{12}{π}$ por $1$ .

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t + C_{2} - 2 \int \cos (u) \frac{12}{π} d u$

Etapa 2.3.5.3

Combine $\cos (u)$ e $\frac{12}{π}$ .

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t + C_{2} - 2 \int \frac{\cos (u) \cdot 12}{π} d u$

Etapa 2.3.5.4

Mova $12$ para a esquerda de $\cos (u)$ .

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t + C_{2} - 2 \int \frac{12 \cos (u)}{π} d u$

Etapa 2.3.6

Como $\frac{12}{π}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{12}{π}$ para fora da integral.

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t + C_{2} - 2 (\frac{12}{π} \int \cos (u) d u)$

Etapa 2.3.7

Simplifique.

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Etapa 2.3.7.1

Combine $\frac{12}{π}$ e $- 2$ .

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t + C_{2} + \frac{12 \cdot - 2}{π} \int \cos (u) d u$

Etapa 2.3.7.2

Multiplique $12$ por $- 2$ .

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t + C_{2} + \frac{- 24}{π} \int \cos (u) d u$

Etapa 2.3.7.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t + C_{2} - \frac{24}{π} \int \cos (u) d u$

Etapa 2.3.8

A integral de $\cos (u)$ com relação a $u$ é $\sin (u)$ .

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t + C_{2} - \frac{24}{π} (\sin (u) + C_{3})$

Etapa 2.3.9

Simplifique.

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t - \frac{24}{π} \sin (u) + C_{4}$

Etapa 2.3.10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{π t}{12}$ .

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t - \frac{24}{π} \sin (\frac{π t}{12}) + C_{4}$

Etapa 2.3.11

Reordene os termos.

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t - \frac{24}{π} \sin (\frac{π}{12} t) + C_{4}$

Etapa 2.3.12

Reordene os termos.

$\ln (| N |) + C_{1} = - \frac{24}{π} \sin (\frac{π}{12} t) + 2 t + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| N |) = - \frac{24}{π} \sin (\frac{π}{12} t) + 2 t + C$

Etapa 3

Resolva $N$ .

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Etapa 3.1

Para resolver $N$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| N |)} = e^{- \frac{24}{π} \sin (\frac{π}{12} t) + 2 t + C}$

Etapa 3.2

Reescreva $\ln (| N |) = - \frac{24}{π} \sin (\frac{π}{12} t) + 2 t + C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{24}{π} \sin (\frac{π}{12} t) + 2 t + C} = | N |$

Etapa 3.3

Resolva $N$ .

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Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $| N | = e^{- \frac{24}{π} \cdot \sin (\frac{π}{12} t) + 2 t + C}$ .

$| N | = e^{- \frac{24}{π} \cdot \sin (\frac{π}{12} t) + 2 t + C}$

Etapa 3.3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.2.1

Combine $\sin (\frac{π}{12} t)$ e $\frac{24}{π}$ .

$| N | = e^{- \frac{\sin (\frac{π}{12} t) \cdot 24}{π} + 2 t + C}$

Etapa 3.3.2.2

Mova $24$ para a esquerda de $\sin (\frac{π}{12} t)$ .

$| N | = e^{- \frac{24 \sin (\frac{π}{12} t)}{π} + 2 t + C}$

Etapa 3.3.3

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$N = \pm e^{- \frac{24 \sin (\frac{π}{12} t)}{π} + 2 t + C}$

Etapa 4

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 4.1

Reescreva $e^{- \frac{24 \sin (\frac{π}{12} t)}{π} + 2 t + C}$ como $e^{- \frac{24 \sin (\frac{π}{12} t)}{π} + 2 t} e^{C}$ .

$N = \pm e^{- \frac{24 \sin (\frac{π}{12} t)}{π} + 2 t} e^{C}$

Etapa 4.2

Reordene $e^{- \frac{24 \sin (\frac{π}{12} t)}{π} + 2 t}$ e $e^{C}$ .

$N = \pm e^{C} e^{- \frac{24 \sin (\frac{π}{12} t)}{π} + 2 t}$

Etapa 4.3

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$N = C e^{- \frac{24 \sin (\frac{π}{12} t)}{π} + 2 t}$