Cálculo Exemplos

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2} + 1}{2 - 2 y}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{2} + 1}{2 - 2 y}$

Etapa 1.2

Simplifique.

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum de $x^{2} + 1$ .

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Etapa 1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{2} + 1}{2 - 2 y}$

Etapa 1.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 - 2 y}$

Etapa 1.2.2

Fatore $2$ de $2 - 2 y$ .

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Etapa 1.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 (1) - 2 y}$

Etapa 1.2.2.2

Fatore $2$ de $- 2 y$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 (1) + 2 (- y)}$

Etapa 1.2.2.3

Fatore $2$ de $2 (1) + 2 (- y)$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 (1 - y)}$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{x^{2} + 1} d x = \frac{1}{2 (1 - y)} d y$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{x^{2} + 1} d x = \int \frac{1}{2 (1 - y)} d y$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.2.1.1

Reordene $x^{2}$ e $1$ .

$\int \frac{1}{1 + x^{2}} d x = \int \frac{1}{2 (1 - y)} d y$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x = \int \frac{1}{2 (1 - y)} d y$

Etapa 2.2.2

A integral de $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ com relação a $x$ é $\arctan (x) + C_{1}$ .

$\arctan (x) + C_{1} = \int \frac{1}{2 (1 - y)} d y$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $y$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\arctan (x) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{1 - y} d y$

Etapa 2.3.2

Deixe $u = 1 - y$ . Depois, $d u = - d y$ , então, $- d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.3.2.1

Deixe $u = 1 - y$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 2.3.2.1.1

Reescreva.

$\frac{- 1}{1}$

Etapa 2.3.2.1.2

Divida $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 2.3.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\arctan (x) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{- 1}{u} d u$

Etapa 2.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\arctan (x) + C_{1} = \frac{1}{2} \int - \frac{1}{u} d u$

Etapa 2.3.4

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\arctan (x) + C_{1} = \frac{1}{2} (- \int \frac{1}{u} d u)$

Etapa 2.3.5

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\arctan (x) + C_{1} = \frac{1}{2} (- (\ln (| u |) + C_{2}))$

Etapa 2.3.6

Simplifique.

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Etapa 2.3.6.1

Simplifique.

$\arctan (x) + C_{1} = \frac{1}{2} (- \ln (| u |)) + C_{2}$

Etapa 2.3.6.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $\ln (| u |)$ .

$\arctan (x) + C_{1} = - \frac{\ln (| u |)}{2} + C_{2}$

Etapa 2.3.7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 - y$ .

$\arctan (x) + C_{1} = - \frac{\ln (| 1 - y |)}{2} + C_{2}$

Etapa 2.3.8

Reordene os termos.

$\arctan (x) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| 1 - y |) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\arctan (x) = - \frac{1}{2} \ln (| 1 - y |) + C$

Etapa 3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.1

Calcule o arco tangente inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do arco tangente.

$x = \tan (- \frac{1}{2} \cdot \ln (| 1 - y |) + C)$

Etapa 3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.1

Multiplique $- \frac{1}{2} \ln (| 1 - y |)$ .

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Etapa 3.2.1.1

Reordene $\ln (| 1 - y |)$ e $\frac{1}{2}$ .

$x = \tan (- (\frac{1}{2} \ln (| 1 - y |)) + C)$

Etapa 3.2.1.2

Simplifique $\frac{1}{2} \ln (| 1 - y |)$ movendo $\frac{1}{2}$ para dentro do logaritmo.

$x = \tan (- \ln ({| 1 - y |}^{\frac{1}{2}}) + C)$