Cálculo Exemplos

$x \frac{d y}{d x} - y - 5 x^{4} - 3 x^{2} + 2 x = 0$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Etapa 1.1

Reescreva a equação como $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

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Etapa 1.1.1

Some $5 x^{4}$ aos dois lados da equação.

$x \frac{d y}{d x} - y - 3 x^{2} + 2 x = 5 x^{4}$

Etapa 1.1.2

Some $3 x^{2}$ aos dois lados da equação.

$x \frac{d y}{d x} - y + 2 x = 5 x^{4} + 3 x^{2}$

Etapa 1.1.3

Subtraia $2 x$ dos dois lados da equação.

$x \frac{d y}{d x} - y = 5 x^{4} + 3 x^{2} - 2 x$

Etapa 1.2

Divida cada termo em $x \frac{d y}{d x} - y = 5 x^{4} + 3 x^{2} - 2 x$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- y}{x} = \frac{5 x^{4}}{x} + \frac{3 x^{2}}{x} + \frac{- 2 x}{x}$

Etapa 1.3

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- y}{x} = \frac{5 x^{4}}{x} + \frac{3 x^{2}}{x} + \frac{- 2 x}{x}$

Etapa 1.3.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{5 x^{4}}{x} + \frac{3 x^{2}}{x} + \frac{- 2 x}{x}$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $x^{4}$ e $x$ .

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Etapa 1.4.1

Fatore $x$ de $5 x^{4}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x (5 x^{3})}{x} + \frac{3 x^{2}}{x} + \frac{- 2 x}{x}$

Etapa 1.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.4.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x (5 x^{3})}{x^{1}} + \frac{3 x^{2}}{x} + \frac{- 2 x}{x}$

Etapa 1.4.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x (5 x^{3})}{x \cdot 1} + \frac{3 x^{2}}{x} + \frac{- 2 x}{x}$

Etapa 1.4.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x (5 x^{3})}{x \cdot 1} + \frac{3 x^{2}}{x} + \frac{- 2 x}{x}$

Etapa 1.4.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{5 x^{3}}{1} + \frac{3 x^{2}}{x} + \frac{- 2 x}{x}$

Etapa 1.4.2.5

Divida $5 x^{3}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = 5 x^{3} + \frac{3 x^{2}}{x} + \frac{- 2 x}{x}$

Etapa 1.5

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

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Etapa 1.5.1

Fatore $x$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = 5 x^{3} + \frac{x (3 x)}{x} + \frac{- 2 x}{x}$

Etapa 1.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.5.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = 5 x^{3} + \frac{x (3 x)}{x^{1}} + \frac{- 2 x}{x}$

Etapa 1.5.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = 5 x^{3} + \frac{x (3 x)}{x \cdot 1} + \frac{- 2 x}{x}$

Etapa 1.5.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = 5 x^{3} + \frac{x (3 x)}{x \cdot 1} + \frac{- 2 x}{x}$

Etapa 1.5.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = 5 x^{3} + \frac{3 x}{1} + \frac{- 2 x}{x}$

Etapa 1.5.2.5

Divida $3 x$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = 5 x^{3} + 3 x + \frac{- 2 x}{x}$

Etapa 1.6

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = 5 x^{3} + 3 x + \frac{- 2 x}{x}$

Etapa 1.6.2

Divida $- 2$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = 5 x^{3} + 3 x - 2$

Etapa 1.7

Fatore $y$ de $\frac{- y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 1}{x} = 5 x^{3} + 3 x - 2$

Etapa 1.8

Reordene $y$ e $\frac{- 1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 1}{x} y = 5 x^{3} + 3 x - 2$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = \frac{- 1}{x}$ .

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Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int \frac{- 1}{x} d x}$

Etapa 2.2

Integre $\frac{- 1}{x}$ .

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Etapa 2.2.1

Divida a fração em diversas frações.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Etapa 2.2.2

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Etapa 2.2.3

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Etapa 2.2.4

Simplifique.

$e^{- \ln (| x |) + C}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{- \ln (x)}$

Etapa 2.4

Use a regra da multiplicação de potências logarítmica.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

Etapa 2.5

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$x^{- 1}$

Etapa 2.6

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x}$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $\frac{1}{x}$ .

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} (\frac{- 1}{x} y) = \frac{1}{x} (5 x^{3}) + \frac{1}{x} (3 x) + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1

Combine $\frac{1}{x}$ e $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (\frac{- 1}{x} y) = \frac{1}{x} (5 x^{3}) + \frac{1}{x} (3 x) + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Etapa 3.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (5 x^{3}) + \frac{1}{x} (3 x) + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Etapa 3.2.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (5 x^{3}) + \frac{1}{x} (3 x) + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Etapa 3.2.4

Combine $\frac{1}{x}$ e $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{x} (5 x^{3}) + \frac{1}{x} (3 x) + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Etapa 3.2.5

Multiplique $- \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x}$ .

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Etapa 3.2.5.1

Multiplique $\frac{y}{x}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x \cdot x} = \frac{1}{x} (5 x^{3}) + \frac{1}{x} (3 x) + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Etapa 3.2.5.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x} = \frac{1}{x} (5 x^{3}) + \frac{1}{x} (3 x) + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Etapa 3.2.5.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} (5 x^{3}) + \frac{1}{x} (3 x) + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Etapa 3.2.5.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} (5 x^{3}) + \frac{1}{x} (3 x) + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Etapa 3.2.5.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (5 x^{3}) + \frac{1}{x} (3 x) + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Etapa 3.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = 5 \frac{1}{x} x^{3} + \frac{1}{x} (3 x) + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Etapa 3.3.2

Combine $5$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{5}{x} x^{3} + \frac{1}{x} (3 x) + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Etapa 3.3.3

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 3.3.3.1

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{5}{x} (x \cdot x^{2}) + \frac{1}{x} (3 x) + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Etapa 3.3.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{5}{x} (x \cdot x^{2}) + \frac{1}{x} (3 x) + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Etapa 3.3.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = 5 x^{2} + \frac{1}{x} (3 x) + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Etapa 3.3.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = 5 x^{2} + 3 \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Etapa 3.3.5

Combine $3$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = 5 x^{2} + \frac{3}{x} x + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Etapa 3.3.6

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 3.3.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = 5 x^{2} + \frac{3}{x} x + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Etapa 3.3.6.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = 5 x^{2} + 3 + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Etapa 3.3.7

Combine $\frac{1}{x}$ e $- 2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = 5 x^{2} + 3 + \frac{- 2}{x}$

Etapa 3.3.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = 5 x^{2} + 3 - \frac{2}{x}$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] = 5 x^{2} + 3 - \frac{2}{x}$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] d x = \int 5 x^{2} + 3 - \frac{2}{x} d x$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$\frac{1}{x} y = \int 5 x^{2} + 3 - \frac{2}{x} d x$

Etapa 7

Integre o lado direito.

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Etapa 7.1

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{x} y = \int 5 x^{2} d x + \int 3 d x + \int - \frac{2}{x} d x$

Etapa 7.2

Como $5$ é constante com relação a $x$ , mova $5$ para fora da integral.

$\frac{1}{x} y = 5 \int x^{2} d x + \int 3 d x + \int - \frac{2}{x} d x$

Etapa 7.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{x} y = 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 3 d x + \int - \frac{2}{x} d x$

Etapa 7.4

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{x} y = 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 3 x + C + \int - \frac{2}{x} d x$

Etapa 7.5

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$\frac{1}{x} y = 5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 3 x + C + \int - \frac{2}{x} d x$

Etapa 7.6

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{x} y = 5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 3 x + C - \int \frac{2}{x} d x$

Etapa 7.7

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$\frac{1}{x} y = 5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 3 x + C - (2 \int \frac{1}{x} d x)$

Etapa 7.8

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{x} y = 5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 3 x + C - 2 \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 7.9

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{x} y = 5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 3 x + C - 2 (\ln (| x |) + C)$

Etapa 7.10

Simplifique.

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Etapa 7.10.1

Simplifique.

$\frac{1}{x} y = \frac{5 x^{3}}{3} + 3 x - 2 \ln (| x |) + C$

Etapa 7.10.2

Reordene os termos.

$\frac{1}{x} y = \frac{5}{3} x^{3} + 3 x - 2 \ln (| x |) + C$

Etapa 8

Resolva $y$ .

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Etapa 8.1

Combine $\frac{1}{x}$ e $y$ .

$\frac{y}{x} = \frac{5}{3} x^{3} + 3 x - 2 \ln (| x |) + C$

Etapa 8.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.2.1

Combine $\frac{5}{3}$ e $x^{3}$ .

$\frac{y}{x} = \frac{5 x^{3}}{3} + 3 x - 2 \ln (| x |) + C$

Etapa 8.2.2

Simplifique $- 2 \ln (| x |)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\frac{y}{x} = \frac{5 x^{3}}{3} + 3 x - \ln ({| x |}^{2}) + C$

Etapa 8.2.3

Remova o valor absoluto em ${| x |}^{2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$\frac{y}{x} = \frac{5 x^{3}}{3} + 3 x - \ln (x^{2}) + C$

Etapa 8.3

Multiplique os dois lados por $x$ .

$\frac{y}{x} x = (\frac{5 x^{3}}{3} + 3 x - \ln (x^{2}) + C) x$

Etapa 8.4

Simplifique.

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Etapa 8.4.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.4.1.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 8.4.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y}{x} x = (\frac{5 x^{3}}{3} + 3 x - \ln (x^{2}) + C) x$

Etapa 8.4.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y = (\frac{5 x^{3}}{3} + 3 x - \ln (x^{2}) + C) x$

Etapa 8.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.4.2.1

Simplifique $(\frac{5 x^{3}}{3} + 3 x - \ln (x^{2}) + C) x$ .

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Etapa 8.4.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{5 x^{3}}{3} x + 3 x \cdot x - \ln (x^{2}) x + C x$

Etapa 8.4.2.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.2.1.2.1

Multiplique $\frac{5 x^{3}}{3} x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.2.1.2.1.1

Combine $\frac{5 x^{3}}{3}$ e $x$ .

$y = \frac{5 x^{3} x}{3} + 3 x \cdot x - \ln (x^{2}) x + C x$

Etapa 8.4.2.1.2.1.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$y = \frac{5 (x^{1} x^{3})}{3} + 3 x \cdot x - \ln (x^{2}) x + C x$

Etapa 8.4.2.1.2.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \frac{5 x^{1 + 3}}{3} + 3 x \cdot x - \ln (x^{2}) x + C x$

Etapa 8.4.2.1.2.1.4

Some $1$ e $3$ .

$y = \frac{5 x^{4}}{3} + 3 x \cdot x - \ln (x^{2}) x + C x$

Etapa 8.4.2.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 8.4.2.1.2.2.1

Mova $x$ .

$y = \frac{5 x^{4}}{3} + 3 (x \cdot x) - \ln (x^{2}) x + C x$

Etapa 8.4.2.1.2.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$y = \frac{5 x^{4}}{3} + 3 x^{2} - \ln (x^{2}) x + C x$

Etapa 8.4.2.1.3

Reordene os fatores em $\frac{5 x^{4}}{3} + 3 x^{2} - \ln (x^{2}) x + C x$ .

$y = \frac{5 x^{4}}{3} + 3 x^{2} - x \ln (x^{2}) + C x$

Etapa 8.4.2.1.4

Mova $- x \ln (x^{2})$ .

$y = \frac{5 x^{4}}{3} + 3 x^{2} + C x - x \ln (x^{2})$