Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = 8 x \sqrt{16 - y^{2}}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} (8 x \sqrt{16 - y^{2}})$

Etapa 1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

Etapa 1.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{1}{\sqrt{4^{2} - y^{2}}} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

Etapa 1.2.2.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 4$ e $b = y$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{1}{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

Etapa 1.2.3

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}$ por $\frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 (\frac{1}{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}} \cdot \frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}) (x \sqrt{16 - y^{2}})$

Etapa 1.2.4

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}$ por $\frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{\sqrt{(4 + y) (4 - y)} \sqrt{(4 + y) (4 - y)}} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

Etapa 1.2.4.2

Eleve $\sqrt{(4 + y) (4 - y)}$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}^{1} \sqrt{(4 + y) (4 - y)}} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

Etapa 1.2.4.3

Eleve $\sqrt{(4 + y) (4 - y)}$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}^{1} {\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}^{1}} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

Etapa 1.2.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}^{1 + 1}} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

Etapa 1.2.4.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}^{2}} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

Etapa 1.2.4.6

Reescreva ${\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}^{2}$ como $(4 + y) (4 - y)$ .

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Etapa 1.2.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{(4 + y) (4 - y)}$ como ${((4 + y) (4 - y))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{{({((4 + y) (4 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

Etapa 1.2.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{{((4 + y) (4 - y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

Etapa 1.2.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{{((4 + y) (4 - y))}^{\frac{2}{2}}} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

Etapa 1.2.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.2.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{{((4 + y) (4 - y))}^{\frac{2}{2}}} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

Etapa 1.2.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{{((4 + y) (4 - y))}^{1}} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

Etapa 1.2.4.6.5

Simplifique.

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{(4 + y) (4 - y)} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

Etapa 1.2.5

Combine $8$ e $\frac{\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{(4 + y) (4 - y)}$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{8 \sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{(4 + y) (4 - y)} (x \sqrt{16 - y^{2}})$

Etapa 1.2.6

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{8 \sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{(4 + y) (4 - y)} (x \sqrt{4^{2} - y^{2}})$

Etapa 1.2.7

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 4$ e $b = y$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{8 \sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{(4 + y) (4 - y)} (x \sqrt{(4 + y) (4 - y)})$

Etapa 1.2.8

Multiplique $\frac{8 \sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{(4 + y) (4 - y)} (x \sqrt{(4 + y) (4 - y)})$ .

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Etapa 1.2.8.1

Combine $x$ e $\frac{8 \sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{(4 + y) (4 - y)}$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (8 \sqrt{(4 + y) (4 - y)})}{(4 + y) (4 - y)} \sqrt{(4 + y) (4 - y)}$

Etapa 1.2.8.2

Combine $\frac{x (8 \sqrt{(4 + y) (4 - y)})}{(4 + y) (4 - y)}$ e $\sqrt{(4 + y) (4 - y)}$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (8 \sqrt{(4 + y) (4 - y)}) \sqrt{(4 + y) (4 - y)}}{(4 + y) (4 - y)}$

Etapa 1.2.8.3

Eleve $\sqrt{(4 + y) (4 - y)}$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (8 ({\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}^{1} \sqrt{(4 + y) (4 - y)}))}{(4 + y) (4 - y)}$

Etapa 1.2.8.4

Eleve $\sqrt{(4 + y) (4 - y)}$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (8 ({\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}^{1} {\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}^{1}))}{(4 + y) (4 - y)}$

Etapa 1.2.8.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (8 {\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}^{1 + 1})}{(4 + y) (4 - y)}$

Etapa 1.2.8.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (8 {\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}^{2})}{(4 + y) (4 - y)}$

Etapa 1.2.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.2.9.1

Reescreva ${\sqrt{(4 + y) (4 - y)}}^{2}$ como $(4 + y) (4 - y)$ .

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Etapa 1.2.9.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{(4 + y) (4 - y)}$ como ${((4 + y) (4 - y))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 {({((4 + y) (4 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{(4 + y) (4 - y)}$

Etapa 1.2.9.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 {((4 + y) (4 - y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{(4 + y) (4 - y)}$

Etapa 1.2.9.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 {((4 + y) (4 - y))}^{\frac{2}{2}}}{(4 + y) (4 - y)}$

Etapa 1.2.9.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.2.9.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 {((4 + y) (4 - y))}^{\frac{2}{2}}}{(4 + y) (4 - y)}$

Etapa 1.2.9.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 {((4 + y) (4 - y))}^{1}}{(4 + y) (4 - y)}$

Etapa 1.2.9.1.5

Simplifique.

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 ((4 + y) (4 - y))}{(4 + y) (4 - y)}$

Etapa 1.2.9.2

Expanda $(4 + y) (4 - y)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.2.9.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (4 (4 - y) + y (4 - y))}{(4 + y) (4 - y)}$

Etapa 1.2.9.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (4 \cdot 4 + 4 (- y) + y (4 - y))}{(4 + y) (4 - y)}$

Etapa 1.2.9.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (4 \cdot 4 + 4 (- y) + y \cdot 4 + y (- y))}{(4 + y) (4 - y)}$

Etapa 1.2.9.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.2.9.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.9.3.1.1

Multiplique $4$ por $4$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (16 + 4 (- y) + y \cdot 4 + y (- y))}{(4 + y) (4 - y)}$

Etapa 1.2.9.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (16 - 4 y + y \cdot 4 + y (- y))}{(4 + y) (4 - y)}$

Etapa 1.2.9.3.1.3

Mova $4$ para a esquerda de $y$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (16 - 4 y + 4 \cdot y + y (- y))}{(4 + y) (4 - y)}$

Etapa 1.2.9.3.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (16 - 4 y + 4 y - y \cdot y)}{(4 + y) (4 - y)}$

Etapa 1.2.9.3.1.5

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 1.2.9.3.1.5.1

Mova $y$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (16 - 4 y + 4 y - (y \cdot y))}{(4 + y) (4 - y)}$

Etapa 1.2.9.3.1.5.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (16 - 4 y + 4 y - y^{2})}{(4 + y) (4 - y)}$

Etapa 1.2.9.3.2

Some $- 4 y$ e $4 y$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (16 + 0 - y^{2})}{(4 + y) (4 - y)}$

Etapa 1.2.9.3.3

Some $16$ e $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (16 - y^{2})}{(4 + y) (4 - y)}$

Etapa 1.2.9.4

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (4^{2} - y^{2})}{(4 + y) (4 - y)}$

Etapa 1.2.9.5

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 4$ e $b = y$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (4 + y) (4 - y)}{(4 + y) (4 - y)}$

Etapa 1.2.10

Cancele o fator comum de $4 + y$ .

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Etapa 1.2.10.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (4 + y) (4 - y)}{(4 + y) (4 - y)}$

Etapa 1.2.10.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (4 - y)}{4 - y}$

Etapa 1.2.11

Cancele o fator comum de $4 - y$ .

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Etapa 1.2.11.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 8 (4 - y)}{4 - y}$

Etapa 1.2.11.2

Divida $x \cdot 8$ por $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = x \cdot 8$

Etapa 1.2.12

Mova $8$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 8 x$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} d y = 8 x d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{\sqrt{16 - y^{2}}} d y = \int 8 x d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{4^{2} - y^{2}}} d y = \int 8 x d x$

Etapa 2.2.2

A integral de $\frac{1}{\sqrt{4^{2} - y^{2}}}$ com relação a $y$ é $\arcsin (\frac{y}{4})$

$\arcsin (\frac{y}{4}) + C_{1} = \int 8 x d x$

Etapa 2.2.3

Reescreva $\arcsin (\frac{y}{4}) + C_{1}$ como $\arcsin (\frac{1}{4} y) + C_{1}$ .

$\arcsin (\frac{1}{4} y) + C_{1} = \int 8 x d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $8$ é constante com relação a $x$ , mova $8$ para fora da integral.

$\arcsin (\frac{1}{4} y) + C_{1} = 8 \int x d x$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\arcsin (\frac{1}{4} y) + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Etapa 2.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.3.3.1

Reescreva $8 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ como $8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$\arcsin (\frac{1}{4} y) + C_{1} = 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2

Simplifique.

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Etapa 2.3.3.2.1

Combine $8$ e $\frac{1}{2}$ .

$\arcsin (\frac{1}{4} y) + C_{1} = \frac{8}{2} x^{2} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2.2

Cancele o fator comum de $8$ e $2$ .

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Etapa 2.3.3.2.2.1

Fatore $2$ de $8$ .

$\arcsin (\frac{1}{4} y) + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2} x^{2} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.3.3.2.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\arcsin (\frac{1}{4} y) + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 (1)} x^{2} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\arcsin (\frac{1}{4} y) + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\arcsin (\frac{1}{4} y) + C_{1} = \frac{4}{1} x^{2} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2.2.2.4

Divida $4$ por $1$ .

$\arcsin (\frac{1}{4} y) + C_{1} = 4 x^{2} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\arcsin (\frac{1}{4} y) = 4 x^{2} + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Obtenha o arco seno inverso dos dois lados da equação para extrair $y$ de dentro do arco seno.

$\frac{1}{4} y = \sin (4 x^{2} + K)$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $y$ .

$\frac{y}{4} = \sin (4 x^{2} + K)$

Etapa 3.3

Multiplique os dois lados da equação por $4$ .

$4 \frac{y}{4} = 4 \sin (4 x^{2} + K)$

Etapa 3.4

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1.1

Cancele o fator comum.

$4 \frac{y}{4} = 4 \sin (4 x^{2} + K)$

Etapa 3.4.1.2

Reescreva a expressão.

$y = 4 \sin (4 x^{2} + K)$