Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{3} - 21 x}{5 + 4 x - x^{2}} x^{3}$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = \frac{x^{3} - 21 x}{5 + 4 x - x^{2}} x^{3} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int \frac{x^{3} - 21 x}{5 + 4 x - x^{2}} x^{3} d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int \frac{x^{3} - 21 x}{5 + 4 x - x^{2}} x^{3} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Combine $\frac{x^{3} - 21 x}{5 + 4 x - x^{2}}$ e $x^{3}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{(x^{3} - 21 x) x^{3}}{5 + 4 x - x^{2}} d x$

Etapa 2.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y + C_{1} = \int \frac{x^{3} x^{3} - 21 x \cdot x^{3}}{5 + 4 x - x^{2}} d x$

Etapa 2.3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y + C_{1} = \int \frac{x^{3 + 3} - 21 x \cdot x^{3}}{5 + 4 x - x^{2}} d x$

Etapa 2.3.4

Some $3$ e $3$ .

$y + C_{1} = \int \frac{x^{6} - 21 x \cdot x^{3}}{5 + 4 x - x^{2}} d x$

Etapa 2.3.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$y + C_{1} = \int \frac{x^{6} - 21 (x^{1} x^{3})}{5 + 4 x - x^{2}} d x$

Etapa 2.3.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y + C_{1} = \int \frac{x^{6} - 21 x^{1 + 3}}{5 + 4 x - x^{2}} d x$

Etapa 2.3.7

Some $1$ e $3$ .

$y + C_{1} = \int \frac{x^{6} - 21 x^{4}}{5 + 4 x - x^{2}} d x$

Etapa 2.3.8

Reordene $5$ e $4 x$ .

$y + C_{1} = \int \frac{x^{6} - 21 x^{4}}{4 x + 5 - x^{2}} d x$

Etapa 2.3.9

Mova $5$ .

$y + C_{1} = \int \frac{x^{6} - 21 x^{4}}{4 x - x^{2} + 5} d x$

Etapa 2.3.10

Reordene $4 x$ e $- x^{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{x^{6} - 21 x^{4}}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

Etapa 2.3.11

Divida $x^{6} - 21 x^{4}$ por $- x^{2} + 4 x + 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.11.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Etapa 2.3.11.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{6}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $- x^{2}$ .

$x^{4}$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Etapa 2.3.11.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{4}$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

Etapa 2.3.11.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{6} - 4 x^{5} - 5 x^{4}$ .

$x^{4}$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

Etapa 2.3.11.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{4}$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

Etapa 2.3.11.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$x^{4}$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

Etapa 2.3.11.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $4 x^{5}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $- x^{2}$ .

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

Etapa 2.3.11.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$20 x^{3}$

Etapa 2.3.11.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $4 x^{5} - 16 x^{4} - 20 x^{3}$ .

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$20 x^{3}$

Etapa 2.3.11.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$20 x^{3}$

Etapa 2.3.11.11

Tire o próximo termo do dividendo original e o coloque no dividendo atual.

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$20 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

Etapa 2.3.11.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $20 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $- x^{2}$ .

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$20 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

Etapa 2.3.11.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$20 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$20 x^{3}$

$80 x^{2}$

$100 x$

Etapa 2.3.11.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $20 x^{3} - 80 x^{2} - 100 x$ .

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$20 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$20 x^{3}$

$80 x^{2}$

$100 x$

Etapa 2.3.11.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$20 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$20 x^{3}$

$80 x^{2}$

$100 x$

$80 x^{2}$

$100 x$

Etapa 2.3.11.16

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$20 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$20 x^{3}$

$80 x^{2}$

$100 x$

$80 x^{2}$

$100 x$

$0$

Etapa 2.3.11.17

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $80 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $- x^{2}$ .

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$80$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$20 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$20 x^{3}$

$80 x^{2}$

$100 x$

$80 x^{2}$

$100 x$

$0$

Etapa 2.3.11.18

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$80$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$20 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$20 x^{3}$

$80 x^{2}$

$100 x$

$80 x^{2}$

$100 x$

$0$

$80 x^{2}$

$320 x$

$400$

Etapa 2.3.11.19

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $80 x^{2} - 320 x - 400$ .

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$80$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$20 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$20 x^{3}$

$80 x^{2}$

$100 x$

$80 x^{2}$

$100 x$

$0$

$80 x^{2}$

$320 x$

$400$

Etapa 2.3.11.20

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$80$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$20 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$20 x^{3}$

$80 x^{2}$

$100 x$

$80 x^{2}$

$100 x$

$0$

$80 x^{2}$

$320 x$

$400$

$420 x$

$400$

Etapa 2.3.11.21

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$y + C_{1} = \int - x^{4} - 4 x^{3} - 20 x - 80 + \frac{420 x + 400}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

Etapa 2.3.12

Divida a integral única em várias integrais.

$y + C_{1} = \int - x^{4} d x + \int - 4 x^{3} d x + \int - 20 x d x + \int - 80 d x + \int \frac{420 x + 400}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

Etapa 2.3.13

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$y + C_{1} = - \int x^{4} d x + \int - 4 x^{3} d x + \int - 20 x d x + \int - 80 d x + \int \frac{420 x + 400}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

Etapa 2.3.14

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{4}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$y + C_{1} = - (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) + \int - 4 x^{3} d x + \int - 20 x d x + \int - 80 d x + \int \frac{420 x + 400}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

Etapa 2.3.15

Como $- 4$ é constante com relação a $x$ , mova $- 4$ para fora da integral.

$y + C_{1} = - (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) - 4 \int x^{3} d x + \int - 20 x d x + \int - 80 d x + \int \frac{420 x + 400}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

Etapa 2.3.16

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y + C_{1} = - (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) + \int - 20 x d x + \int - 80 d x + \int \frac{420 x + 400}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

Etapa 2.3.17

Como $- 20$ é constante com relação a $x$ , mova $- 20$ para fora da integral.

$y + C_{1} = - (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) - 20 \int x d x + \int - 80 d x + \int \frac{420 x + 400}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

Etapa 2.3.18

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = - (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) - 20 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + \int - 80 d x + \int \frac{420 x + 400}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

Etapa 2.3.19

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = - (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) - 20 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} + \int \frac{420 x + 400}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

Etapa 2.3.20

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.20.1

Combine $\frac{1}{5}$ e $x^{5}$ .

$y + C_{1} = - (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) - 20 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} + \int \frac{420 x + 400}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

Etapa 2.3.20.2

Combine $\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$y + C_{1} = - (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) - 20 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} + \int \frac{420 x + 400}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

Etapa 2.3.21

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.21.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.21.1.1

Fatore a fração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.21.1.1.1

Fatore $20$ de $420 x + 400$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.21.1.1.1.1

Fatore $20$ de $420 x$ .

$\frac{20 (21 x) + 400}{- x^{2} + 4 x + 5}$

Etapa 2.3.21.1.1.1.2

Fatore $20$ de $400$ .

$\frac{20 (21 x) + 20 (20)}{- x^{2} + 4 x + 5}$

Etapa 2.3.21.1.1.1.3

Fatore $20$ de $20 (21 x) + 20 (20)$ .

$\frac{20 (21 x + 20)}{- x^{2} + 4 x + 5}$

Etapa 2.3.21.1.1.2

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.21.1.1.2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot 5 = - 5$ e cuja soma é $b = 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.21.1.1.2.1.1

Fatore $4$ de $4 x$ .

$\frac{20 (21 x + 20)}{- x^{2} + 4 (x) + 5}$

Etapa 2.3.21.1.1.2.1.2

Reescreva $4$ como $- 1$ mais $5$

$\frac{20 (21 x + 20)}{- x^{2} + (- 1 + 5) x + 5}$

Etapa 2.3.21.1.1.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{20 (21 x + 20)}{- x^{2} - 1 x + 5 x + 5}$

Etapa 2.3.21.1.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.21.1.1.2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{20 (21 x + 20)}{(- x^{2} - 1 x) + 5 x + 5}$

Etapa 2.3.21.1.1.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{20 (21 x + 20)}{x (- x - 1) - 5 (- x - 1)}$

Etapa 2.3.21.1.1.2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- x - 1$ .

$\frac{20 (21 x + 20)}{(- x - 1) (x - 5)}$

Etapa 2.3.21.1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{- x - 1}$

Etapa 2.3.21.1.3

$\frac{A}{- x - 1} + \frac{B}{x - 5}$

Etapa 2.3.21.1.4

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $(- x - 1) (x - 5)$ .

$\frac{20 (21 x + 20) (- x - 1) (x - 5)}{(- x - 1) (x - 5)} = \frac{(A) (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Etapa 2.3.21.1.5

Cancele o fator comum de $- x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.21.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{20 (21 x + 20) (- x - 1) (x - 5)}{(- x - 1) (x - 5)} = \frac{(A) (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Etapa 2.3.21.1.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{20 (21 x + 20) (x - 5)}{x - 5} = \frac{(A) (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Etapa 2.3.21.1.6

Cancele o fator comum de $x - 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.21.1.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{20 (21 x + 20) (x - 5)}{x - 5} = \frac{(A) (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Etapa 2.3.21.1.6.2

Divida $20 (21 x + 20)$ por $1$ .

$20 (21 x + 20) = \frac{(A) (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Etapa 2.3.21.1.7

Aplique a propriedade distributiva.

$20 (21 x) + 20 \cdot 20 = \frac{(A) (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Etapa 2.3.21.1.8

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.21.1.8.1

Multiplique $21$ por $20$ .

$420 x + 20 \cdot 20 = \frac{(A) (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Etapa 2.3.21.1.8.2

Multiplique $20$ por $20$ .

$420 x + 400 = \frac{(A) (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Etapa 2.3.21.1.9

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.21.1.9.1

Cancele o fator comum de $- x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.21.1.9.1.1

Cancele o fator comum.

$420 x + 400 = \frac{A (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Etapa 2.3.21.1.9.1.2

Divida $(A) (x - 5)$ por $1$ .

$420 x + 400 = (A) (x - 5) + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Etapa 2.3.21.1.9.2

Aplique a propriedade distributiva.

$420 x + 400 = A x + A \cdot - 5 + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Etapa 2.3.21.1.9.3

Mova $- 5$ para a esquerda de $A$ .

$420 x + 400 = A x - 5 \cdot A + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Etapa 2.3.21.1.9.4

Cancele o fator comum de $x - 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.21.1.9.4.1

Cancele o fator comum.

$420 x + 400 = A x - 5 A + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Etapa 2.3.21.1.9.4.2

Divida $(B) (- x - 1)$ por $1$ .

$420 x + 400 = A x - 5 A + (B) (- x - 1)$

Etapa 2.3.21.1.9.5

Aplique a propriedade distributiva.

$420 x + 400 = A x - 5 A + B (- x) + B \cdot - 1$

Etapa 2.3.21.1.9.6

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$420 x + 400 = A x - 5 A - B x + B \cdot - 1$

Etapa 2.3.21.1.9.7

Mova $- 1$ para a esquerda de $B$ .

$420 x + 400 = A x - 5 A - B x - 1 \cdot B$

Etapa 2.3.21.1.9.8

Reescreva $- 1 B$ como $- B$ .

$420 x + 400 = A x - 5 A - B x - B$

Etapa 2.3.21.1.10

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.21.1.10.1

Mova $B$ .

$420 x + 400 = A x - 5 A - x B - B$

Etapa 2.3.21.1.10.2

Mova $- 5 A$ .

$420 x + 400 = A x - x B - 5 A - B$

Etapa 2.3.21.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.21.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$420 = A - 1 B$

Etapa 2.3.21.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$400 = - 5 A - 1 B$

Etapa 2.3.21.2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$420 = A - 1 B$

$400 = - 5 A - 1 B$

$420 = A - 1 B$

$400 = - 5 A - 1 B$

Etapa 2.3.21.3

Resolva o sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.21.3.1

Resolva $A$ em $420 = A - 1 B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.21.3.1.1

Reescreva a equação como $A - 1 B = 420$ .

$A - 1 B = 420$

$400 = - 5 A - 1 B$

Etapa 2.3.21.3.1.2

Reescreva $- 1 B$ como $- B$ .

$A - B = 420$

$400 = - 5 A - 1 B$

Etapa 2.3.21.3.1.3

Some $B$ aos dois lados da equação.

$A = 420 + B$

$400 = - 5 A - 1 B$

$A = 420 + B$

$400 = - 5 A - 1 B$

Etapa 2.3.21.3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $420 + B$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.21.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $400 = - 5 A - 1 B$ por $420 + B$ .

$400 = - 5 (420 + B) - 1 B$

$A = 420 + B$

Etapa 2.3.21.3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.21.3.2.2.1

Simplifique $- 5 (420 + B) - 1 B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.21.3.2.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.21.3.2.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$400 = - 5 \cdot 420 - 5 B - 1 B$

$A = 420 + B$

Etapa 2.3.21.3.2.2.1.1.2

Multiplique $- 5$ por $420$ .

$400 = - 2100 - 5 B - 1 B$

$A = 420 + B$

Etapa 2.3.21.3.2.2.1.1.3

Reescreva $- 1 B$ como $- B$ .

$400 = - 2100 - 5 B - B$

$A = 420 + B$

$400 = - 2100 - 5 B - B$

$A = 420 + B$

Etapa 2.3.21.3.2.2.1.2

Subtraia $B$ de $- 5 B$ .

$400 = - 2100 - 6 B$

$A = 420 + B$

$400 = - 2100 - 6 B$

$A = 420 + B$

$400 = - 2100 - 6 B$

$A = 420 + B$

$400 = - 2100 - 6 B$

$A = 420 + B$

Etapa 2.3.21.3.3

Resolva $B$ em $400 = - 2100 - 6 B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.21.3.3.1

Reescreva a equação como $- 2100 - 6 B = 400$ .

$- 2100 - 6 B = 400$

$A = 420 + B$

Etapa 2.3.21.3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $B$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.21.3.3.2.1

Some $2100$ aos dois lados da equação.

$- 6 B = 400 + 2100$

$A = 420 + B$

Etapa 2.3.21.3.3.2.2

Some $400$ e $2100$ .

$- 6 B = 2500$

$A = 420 + B$

$- 6 B = 2500$

$A = 420 + B$

Etapa 2.3.21.3.3.3

Divida cada termo em $- 6 B = 2500$ por $- 6$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.21.3.3.3.1

Divida cada termo em $- 6 B = 2500$ por $- 6$ .

$\frac{- 6 B}{- 6} = \frac{2500}{- 6}$

$A = 420 + B$

Etapa 2.3.21.3.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.21.3.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.21.3.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 6 B}{- 6} = \frac{2500}{- 6}$

$A = 420 + B$

Etapa 2.3.21.3.3.3.2.1.2

Divida $B$ por $1$ .

$B = \frac{2500}{- 6}$

$A = 420 + B$

$B = \frac{2500}{- 6}$

$A = 420 + B$

$B = \frac{2500}{- 6}$

$A = 420 + B$

Etapa 2.3.21.3.3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.21.3.3.3.3.1

Cancele o fator comum de $2500$ e $- 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.21.3.3.3.3.1.1

Fatore $2$ de $2500$ .

$B = \frac{2 (1250)}{- 6}$

$A = 420 + B$

Etapa 2.3.21.3.3.3.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.21.3.3.3.3.1.2.1

Fatore $2$ de $- 6$ .

$B = \frac{2 \cdot 1250}{2 \cdot - 3}$

$A = 420 + B$

Etapa 2.3.21.3.3.3.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$B = \frac{2 \cdot 1250}{2 \cdot - 3}$

$A = 420 + B$

Etapa 2.3.21.3.3.3.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$B = \frac{1250}{- 3}$

$A = 420 + B$

$B = \frac{1250}{- 3}$

$A = 420 + B$

$B = \frac{1250}{- 3}$

$A = 420 + B$

Etapa 2.3.21.3.3.3.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$B = - \frac{1250}{3}$

$A = 420 + B$

$B = - \frac{1250}{3}$

$A = 420 + B$

$B = - \frac{1250}{3}$

$A = 420 + B$

$B = - \frac{1250}{3}$

$A = 420 + B$

Etapa 2.3.21.3.4

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $- \frac{1250}{3}$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.21.3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $A = 420 + B$ por $- \frac{1250}{3}$ .

$A = 420 - \frac{1250}{3}$

$B = - \frac{1250}{3}$

Etapa 2.3.21.3.4.2

Simplifique $A = 420 - \frac{1250}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.21.3.4.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.21.3.4.2.1.1

Remova os parênteses.

$A = 420 - \frac{1250}{3}$

$B = - \frac{1250}{3}$

$A = 420 - \frac{1250}{3}$

$B = - \frac{1250}{3}$

Etapa 2.3.21.3.4.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.21.3.4.2.2.1

Simplifique $420 - \frac{1250}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.21.3.4.2.2.1.1

Para escrever $420$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$A = 420 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1250}{3}$

$B = - \frac{1250}{3}$

Etapa 2.3.21.3.4.2.2.1.2

Combine $420$ e $\frac{3}{3}$ .

$A = \frac{420 \cdot 3}{3} - \frac{1250}{3}$

$B = - \frac{1250}{3}$

Etapa 2.3.21.3.4.2.2.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A = \frac{420 \cdot 3 - 1250}{3}$

$B = - \frac{1250}{3}$

Etapa 2.3.21.3.4.2.2.1.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.21.3.4.2.2.1.4.1

Multiplique $420$ por $3$ .

$A = \frac{1260 - 1250}{3}$

$B = - \frac{1250}{3}$

Etapa 2.3.21.3.4.2.2.1.4.2

Subtraia $1250$ de $1260$ .

$A = \frac{10}{3}$

$B = - \frac{1250}{3}$

$A = \frac{10}{3}$

$B = - \frac{1250}{3}$

$A = \frac{10}{3}$

$B = - \frac{1250}{3}$

$A = \frac{10}{3}$

$B = - \frac{1250}{3}$

$A = \frac{10}{3}$

$B = - \frac{1250}{3}$

$A = \frac{10}{3}$

$B = - \frac{1250}{3}$

Etapa 2.3.21.3.5

Liste todas as soluções.

$A = \frac{10}{3}, B = - \frac{1250}{3}$

Etapa 2.3.21.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{- x - 1} + \frac{B}{x - 5}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{\frac{10}{3}}{- x - 1} + \frac{- \frac{1250}{3}}{x - 5}$

Etapa 2.3.21.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.21.5.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{10}{3} \cdot \frac{1}{- x - 1} + \frac{- \frac{1250}{3}}{x - 5}$

Etapa 2.3.21.5.2

Multiplique $\frac{10}{3}$ por $\frac{1}{- x - 1}$ .

$\frac{10}{3 (- x - 1)} + \frac{- \frac{1250}{3}}{x - 5}$

Etapa 2.3.21.5.3

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{10}{3 (- (x) - 1)} + \frac{- \frac{1250}{3}}{x - 5}$

Etapa 2.3.21.5.4

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{10}{3 (- (x) - 1 \cdot 1)} + \frac{- \frac{1250}{3}}{x - 5}$

Etapa 2.3.21.5.5

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (1)$ .

$\frac{10}{3 (- (x + 1))} + \frac{- \frac{1250}{3}}{x - 5}$

Etapa 2.3.21.5.6

Reescreva os negativos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.21.5.6.1

Reescreva $- (x + 1)$ como $- 1 (x + 1)$ .

$\frac{10}{3 (- 1 (x + 1))} + \frac{- \frac{1250}{3}}{x - 5}$

Etapa 2.3.21.5.6.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{10}{3 (x + 1)} + \frac{- \frac{1250}{3}}{x - 5}$

Etapa 2.3.21.5.7

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- \frac{10}{3 (x + 1)} - \frac{1250}{3} \cdot \frac{1}{x - 5}$

Etapa 2.3.21.5.8

Multiplique $\frac{1}{x - 5}$ por $\frac{1250}{3}$ .

$- \frac{10}{3 (x + 1)} - \frac{1250}{(x - 5) \cdot 3}$

Etapa 2.3.21.5.9

Mova $3$ para a esquerda de $x - 5$ .

$y + C_{1} = - (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) - 20 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} + \int - \frac{10}{3 (x + 1)} - \frac{1250}{3 (x - 5)} d x$

Etapa 2.3.22

Divida a integral única em várias integrais.

$y + C_{1} = - (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) - 20 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} + \int - \frac{10}{3 (x + 1)} d x + \int - \frac{1250}{3 (x - 5)} d x$

Etapa 2.3.23

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$y + C_{1} = - (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) - 20 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} + \int - \frac{10}{3 (x + 1)} d x + \int - \frac{1250}{3 (x - 5)} d x$

Etapa 2.3.24

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$y + C_{1} = - (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) - 20 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} - \int \frac{10}{3 (x + 1)} d x + \int - \frac{1250}{3 (x - 5)} d x$

Etapa 2.3.25

Como $\frac{10}{3}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{10}{3}$ para fora da integral.

$y + C_{1} = - (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) - 20 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} - (\frac{10}{3} \int \frac{1}{x + 1} d x) + \int - \frac{1250}{3 (x - 5)} d x$

Etapa 2.3.26

Deixe $u_{1} = x + 1$ . Depois, $d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.26.1

Deixe $u_{1} = x + 1$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.26.1.1

Diferencie $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 2.3.26.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3.26.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3.26.1.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.3.26.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.3.26.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$y + C_{1} = - (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) - 20 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} - \frac{10}{3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{1250}{3 (x - 5)} d x$

Etapa 2.3.27

A integral de $\frac{1}{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $\ln (| u_{1} |)$ .

$y + C_{1} = - (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) - 20 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} - \frac{10}{3} (\ln (| u_{1} |) + C_{6}) + \int - \frac{1250}{3 (x - 5)} d x$

Etapa 2.3.28

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$y + C_{1} = - (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) - 20 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} - \frac{10}{3} (\ln (| u_{1} |) + C_{6}) - \int \frac{1250}{3 (x - 5)} d x$

Etapa 2.3.29

Como $\frac{1250}{3}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1250}{3}$ para fora da integral.

$y + C_{1} = - (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) - 20 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} - \frac{10}{3} (\ln (| u_{1} |) + C_{6}) - (\frac{1250}{3} \int \frac{1}{x - 5} d x)$

Etapa 2.3.30

Deixe $u_{2} = x - 5$ . Depois, $d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.30.1

Deixe $u_{2} = x - 5$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.30.1.1

Diferencie $x - 5$ .

$\frac{d}{d x} [x - 5]$

Etapa 2.3.30.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 2.3.30.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 2.3.30.1.4

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.3.30.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.3.30.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$y + C_{1} = - (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) - 20 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} - \frac{10}{3} (\ln (| u_{1} |) + C_{6}) - \frac{1250}{3} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 2.3.31

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$y + C_{1} = - (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) - 20 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} - \frac{10}{3} (\ln (| u_{1} |) + C_{6}) - \frac{1250}{3} (\ln (| u_{2} |) + C_{7})$

Etapa 2.3.32

Simplifique.

$y + C_{1} = - \frac{x^{5}}{5} - x^{4} - 10 x^{2} - 80 x - \frac{10 \ln (| u_{1} |)}{3} - \frac{1250}{3} \ln (| u_{2} |) + C_{8}$

Etapa 2.3.33

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.33.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x + 1$ .

$y + C_{1} = - \frac{x^{5}}{5} - x^{4} - 10 x^{2} - 80 x - \frac{10 \ln (| x + 1 |)}{3} - \frac{1250}{3} \ln (| u_{2} |) + C_{8}$

Etapa 2.3.33.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x - 5$ .

$y + C_{1} = - \frac{x^{5}}{5} - x^{4} - 10 x^{2} - 80 x - \frac{10 \ln (| x + 1 |)}{3} - \frac{1250}{3} \ln (| x - 5 |) + C_{8}$

Etapa 2.3.34

Reordene os termos.

$y + C_{1} = - \frac{1}{5} x^{5} - x^{4} - 10 x^{2} - 80 x - \frac{10}{3} \ln (| x + 1 |) - \frac{1250}{3} \ln (| x - 5 |) + C_{8}$

Etapa 2.3.35

Reordene os termos.

$y + C_{1} = - x^{4} - 10 x^{2} - \frac{1}{5} x^{5} - \frac{10}{3} \ln (| x + 1 |) - \frac{1250}{3} \ln (| x - 5 |) - 80 x + C_{8}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$y = - x^{4} - 10 x^{2} - \frac{1}{5} x^{5} - \frac{10}{3} \ln (| x + 1 |) - \frac{1250}{3} \ln (| x - 5 |) - 80 x + C$