Cálculo Exemplos

$(\frac{y}{x} + 6 x) d x + (\ln (x) - 2) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = \frac{y}{x} + 6 x$ .

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Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\frac{y}{x} + 6 x]$

Etapa 1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{y}{x} + 6 x$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [\frac{y}{x}] + \frac{d}{d y} [6 x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}] + \frac{d}{d y} [6 x]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $\frac{1}{x}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $\frac{y}{x}$ em relação a $y$ é $\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [6 x]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [6 x]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} + \frac{d}{d y} [6 x]$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.4.1

Como $6 x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $6 x$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} + 0$

Etapa 1.4.2

Some $\frac{1}{x}$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x}$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = \ln (x) - 2$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\ln (x) - 2]$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\ln (x) - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.3

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.4.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{x} + 0$

Etapa 2.4.2

Some $\frac{1}{x}$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{x}$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $\frac{1}{x}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $\frac{1}{x}$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$

Etapa 3.2

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$ é uma identidade.

Etapa 4

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \ln (x) - 2 d y$

Etapa 5

Integre $N (x, y) = \ln (x) - 2$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 5.1

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = (\ln (x) - 2) y + C$

Etapa 6

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = (\ln (x) - 2) y + g (x)$

Etapa 7

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{y}{x} + 6 x$

Etapa 8

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Etapa 8.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [(\ln (x) - 2) y + g (x)] = \frac{y}{x} + 6 x$

Etapa 8.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $(\ln (x) - 2) y + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [(\ln (x) - 2) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [(\ln (x) - 2) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y}{x} + 6 x$

Etapa 8.3

Avalie $\frac{d}{d x} [(\ln (x) - 2) y]$ .

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Etapa 8.3.1

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $(\ln (x) - 2) y$ em relação a $x$ é $y \frac{d}{d x} [\ln (x) - 2]$ .

$y \frac{d}{d x} [\ln (x) - 2] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y}{x} + 6 x$

Etapa 8.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\ln (x) - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$y (\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 2]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y}{x} + 6 x$

Etapa 8.3.3

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$y (\frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [- 2]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y}{x} + 6 x$

Etapa 8.3.4

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$y (\frac{1}{x} + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y}{x} + 6 x$

Etapa 8.3.5

Some $\frac{1}{x}$ e $0$ .

$y \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y}{x} + 6 x$

Etapa 8.3.6

Combine $y$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y}{x} + 6 x$

Etapa 8.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{y}{x} + \frac{d g}{d x} = \frac{y}{x} + 6 x$

Etapa 8.5

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} = \frac{y}{x} + 6 x$

Etapa 9

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 9.1

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 9.1.1

Mova todos os termos que contêm variáveis para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 9.1.1.1

Subtraia $\frac{y}{x}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} - \frac{y}{x} = 6 x$

Etapa 9.1.1.2

Subtraia $6 x$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} - \frac{y}{x} - 6 x = 0$

Etapa 9.1.1.3

Combine os termos opostos em $\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} - \frac{y}{x} - 6 x$ .

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Etapa 9.1.1.3.1

Subtraia $\frac{y}{x}$ de $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d g}{d x} + 0 - 6 x = 0$

Etapa 9.1.1.3.2

Some $\frac{d g}{d x}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} - 6 x = 0$

Etapa 9.1.2

Some $6 x$ aos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} = 6 x$

Etapa 10

Encontre a antiderivada de $6 x$ para encontrar $g (x)$ .

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Etapa 10.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = 6 x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 6 x d x$

Etapa 10.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 6 x d x$

Etapa 10.3

Como $6$ é constante com relação a $x$ , mova $6$ para fora da integral.

$g (x) = 6 \int x d x$

Etapa 10.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Etapa 10.5

Simplifique a resposta.

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Etapa 10.5.1

Reescreva $6 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ como $6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$g (x) = 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Etapa 10.5.2

Simplifique.

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Etapa 10.5.2.1

Combine $6$ e $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \frac{6}{2} x^{2} + C$

Etapa 10.5.2.2

Cancele o fator comum de $6$ e $2$ .

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Etapa 10.5.2.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$g (x) = \frac{2 \cdot 3}{2} x^{2} + C$

Etapa 10.5.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 10.5.2.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$g (x) = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} x^{2} + C$

Etapa 10.5.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$g (x) = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} x^{2} + C$

Etapa 10.5.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$g (x) = \frac{3}{1} x^{2} + C$

Etapa 10.5.2.2.2.4

Divida $3$ por $1$ .

$g (x) = 3 x^{2} + C$

Etapa 11

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = (\ln (x) - 2) y + g (x)$ .

$f (x, y) = (\ln (x) - 2) y + 3 x^{2} + C$

Etapa 12

Simplifique $f (x, y) = (\ln (x) - 2) y + 3 x^{2} + C$ .

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Etapa 12.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x, y) = \ln (x) y - 2 y + 3 x^{2} + C$

Etapa 12.2

Reordene os fatores em $f (x, y) = \ln (x) y - 2 y + 3 x^{2} + C$ .

$f (x, y) = y \ln (x) - 2 y + 3 x^{2} + C$