Cálculo Exemplos

$\frac{d A}{d r} = A b^{2} \cos (b r)$ , $A (0) = b^{3}$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial como $\frac{d A}{d r} + M (r) A = Q (r)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Reescreva a equação como $M (r) \frac{d A}{d r} + P (r) A = Q (r)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Subtraia $A b^{2} \cos (b r)$ dos dois lados da equação.

$\frac{d A}{d r} - A b^{2} \cos (b r) = 0$

Etapa 1.1.2

Reordene os termos.

$\frac{d A}{d r} - b^{2} A \cos (b r) = 0$

Etapa 1.2

Fatore $A$ de $- b^{2} A \cos (b r)$ .

$\frac{d A}{d r} + A (- b^{2} \cos (b r)) = 0$

Etapa 1.3

Reordene $A$ e $- b^{2} \cos (b r)$ .

$\frac{d A}{d r} - b^{2} \cos (b r) A = 0$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (r) d r}$ , em que $P (r) = - b^{2} \cos (b r)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int - b^{2} \cos (b r) d r}$

Etapa 2.2

Integre $- b^{2} \cos (b r)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $- b^{2}$ é constante com relação a $r$ , mova $- b^{2}$ para fora da integral.

$e^{- b^{2} \int \cos (b r) d r}$

Etapa 2.2.2

Deixe $u = b r$ . Depois, $d u = b d r$ , então, $\frac{1}{b} d u = d r$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Deixe $u = b r$ . Encontre $\frac{d u}{d r}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1

Reescreva.

$1 b$

Etapa 2.2.2.1.2

Multiplique $b$ por $1$ .

$b$

Etapa 2.2.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{- b^{2} \int \cos (u) \frac{1}{b} d u}$

Etapa 2.2.3

Combine $\cos (u)$ e $\frac{1}{b}$ .

$e^{- b^{2} \int \frac{\cos (u)}{b} d u}$

Etapa 2.2.4

Como $\frac{1}{b}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{b}$ para fora da integral.

$e^{- b^{2} (\frac{1}{b} \int \cos (u) d u)}$

Etapa 2.2.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.1

Combine $\frac{1}{b}$ e $b^{2}$ .

$e^{- \frac{b^{2}}{b} \int \cos (u) d u}$

Etapa 2.2.5.2

Cancele o fator comum de $b^{2}$ e $b$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.2.1

Fatore $b$ de $b^{2}$ .

$e^{- \frac{b \cdot b}{b} \int \cos (u) d u}$

Etapa 2.2.5.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.2.2.1

Eleve $b$ à potência de $1$ .

$e^{- \frac{b \cdot b}{b^{1}} \int \cos (u) d u}$

Etapa 2.2.5.2.2.2

Fatore $b$ de $b^{1}$ .

$e^{- \frac{b \cdot b}{b \cdot 1} \int \cos (u) d u}$

Etapa 2.2.5.2.2.3

Cancele o fator comum.

$e^{- \frac{b \cdot b}{b \cdot 1} \int \cos (u) d u}$

Etapa 2.2.5.2.2.4

Reescreva a expressão.

$e^{- \frac{b}{1} \int \cos (u) d u}$

Etapa 2.2.5.2.2.5

Divida $b$ por $1$ .

$e^{- b \int \cos (u) d u}$

Etapa 2.2.6

A integral de $\cos (u)$ com relação a $u$ é $\sin (u)$ .

$e^{- b (\sin (u) + C)}$

Etapa 2.2.7

Simplifique.

$e^{- b \sin (u) + C}$

Etapa 2.2.8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $b r$ .

$e^{- b \sin (b r) + C}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{- b \sin (b r)}$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{- b \sin (b r)}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $e^{- b \sin (b r)}$ .

$e^{- b \sin (b r)} \frac{d A}{d r} + e^{- b \sin (b r)} (- b^{2} \cos (b r) A) = e^{- b \sin (b r)} \cdot 0$

Etapa 3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{- b \sin (b r)} \frac{d A}{d r} - e^{- b \sin (b r)} b^{2} \cos (b r) A = e^{- b \sin (b r)} \cdot 0$

Etapa 3.3

Multiplique $e^{- b \sin (b r)}$ por $0$ .

$e^{- b \sin (b r)} \frac{d A}{d r} - e^{- b \sin (b r)} b^{2} \cos (b r) A = 0$

Etapa 3.4

Reordene os fatores em $e^{- b \sin (b r)} \frac{d A}{d r} - e^{- b \sin (b r)} b^{2} \cos (b r) A = 0$ .

$e^{- b \sin (b r)} \frac{d A}{d r} - b^{2} A e^{- b \sin (b r)} \cos (b r) = 0$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d r} [e^{- b \sin (b r)} A] = 0$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d r} [e^{- b \sin (b r)} A] d r = \int 0 d r$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$e^{- b \sin (b r)} A = \int 0 d r$

Etapa 7

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

A integral de $0$ com relação a $r$ é $0$ .

$e^{- b \sin (b r)} A = 0 + C$

Etapa 7.2

Some $0$ e $C$ .

$e^{- b \sin (b r)} A = C$

Etapa 8

Divida cada termo em $e^{- b \sin (b r)} A = C$ por $e^{- b \sin (b r)}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Divida cada termo em $e^{- b \sin (b r)} A = C$ por $e^{- b \sin (b r)}$ .

$\frac{e^{- b \sin (b r)} A}{e^{- b \sin (b r)}} = \frac{C}{e^{- b \sin (b r)}}$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum de $e^{- b \sin (b r)}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{- b \sin (b r)} A}{e^{- b \sin (b r)}} = \frac{C}{e^{- b \sin (b r)}}$

Etapa 8.2.1.2

Divida $A$ por $1$ .

$A = \frac{C}{e^{- b \sin (b r)}}$

Etapa 9

Use a condição inicial para encontrar o valor de $C$ , substituindo $0$ por $r$ e $b^{3}$ por $A$ em $A = \frac{C}{e^{- b \sin (b r)}}$ .

$b^{3} = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}}$

Etapa 10

Resolva $b$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Multiplique os dois lados por $e^{- b \sin (b \cdot 0)}$ .

$b^{3} e^{- b \sin (b \cdot 0)} = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$

Etapa 10.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1.1

Simplifique $b^{3} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1.1.1

Multiplique $b$ por $0$ .

$b^{3} e^{- b \sin (0)} = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$

Etapa 10.2.1.1.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$b^{3} e^{- b \cdot 0} = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$

Etapa 10.2.1.1.3

Multiplique $- b \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1.1.3.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$b^{3} e^{0 b} = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$

Etapa 10.2.1.1.3.2

Multiplique $0$ por $b$ .

$b^{3} e^{0} = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$

Etapa 10.2.1.1.4

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$b^{3} \cdot 1 = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$

Etapa 10.2.1.1.5

Multiplique $b^{3}$ por $1$ .

$b^{3} = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$

Etapa 10.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.1

Cancele o fator comum de $e^{- b \sin (b \cdot 0)}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$b^{3} = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$

Etapa 10.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$b^{3} = C$

Etapa 10.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$b = \sqrt[3]{C}$

Etapa 11

Substitua $\sqrt[3]{C}$ por $C$ em $A = \frac{C}{e^{- b \sin (b r)}}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua $\sqrt[3]{C}$ por $b$ .

$A = \frac{C}{e^{- \sqrt[3]{C} \sin (\sqrt[3]{C} r)}}$