Cálculo Exemplos

$e^{- y} (1 + \frac{d y}{d x}) = 1$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Resolva $\frac{d y}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Divida cada termo em $e^{- y} (1 + \frac{d y}{d x}) = 1$ por $e^{- y}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Divida cada termo em $e^{- y} (1 + \frac{d y}{d x}) = 1$ por $e^{- y}$ .

$\frac{e^{- y} (1 + \frac{d y}{d x})}{e^{- y}} = \frac{1}{e^{- y}}$

Etapa 1.1.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Cancele o fator comum de $e^{- y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{- y} (1 + \frac{d y}{d x})}{e^{- y}} = \frac{1}{e^{- y}}$

Etapa 1.1.1.2.1.2

Divida $1 + \frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$1 + \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}}$

Etapa 1.1.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} - 1$

Etapa 1.2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} - 1}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} - 1} (\frac{1}{e^{- y}} - 1)$

Etapa 1.3

Cancele o fator comum de $\frac{1}{e^{- y}} - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} - 1} (\frac{1}{e^{- y}} - 1)$

Etapa 1.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} - 1} \frac{d y}{d x} = 1$

Etapa 1.4

Reescreva a equação.

$\frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} - 1} d y = 1 d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} - 1} d y = \int d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.1

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{e^{- y}}{e^{- y}}$ .

$\int \frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} - 1 \cdot \frac{e^{- y}}{e^{- y}}} d y = \int d x$

Etapa 2.2.1.1.2

Combine $- 1$ e $\frac{e^{- y}}{e^{- y}}$ .

$\int \frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} + \frac{- e^{- y}}{e^{- y}}} d y = \int d x$

Etapa 2.2.1.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int \frac{1}{\frac{1 - e^{- y}}{e^{- y}}} d y = \int d x$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\int 1 \frac{e^{- y}}{1 - e^{- y}} d y = \int d x$

Etapa 2.2.1.3

Multiplique $\frac{e^{- y}}{1 - e^{- y}}$ por $1$ .

$\int \frac{e^{- y}}{1 - e^{- y}} d y = \int d x$

Etapa 2.2.2

Deixe $u_{2} = 1 - e^{- y}$ . Depois, $d u_{2} = e^{- y} d y$ , então, $\frac{1}{e^{- y}} d u_{2} = d y$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Deixe $u_{2} = 1 - e^{- y}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1

Diferencie $1 - e^{- y}$ .

$\frac{d}{d y} [1 - e^{- y}]$

Etapa 2.2.2.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - e^{- y}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]$

Etapa 2.2.2.1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]$

Etapa 2.2.2.1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [- e^{- y}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- e^{- y}$ em relação a $y$ é $- \frac{d}{d y} [e^{- y}]$ .

$0 - \frac{d}{d y} [e^{- y}]$

Etapa 2.2.2.1.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = e^{y}$ e $g (y) = - y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $- y$ .

$0 - (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d y} [- y])$

Etapa 2.2.2.1.3.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$0 - (e^{u_{1}} \frac{d}{d y} [- y])$

Etapa 2.2.2.1.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $- y$ .

$0 - (e^{- y} \frac{d}{d y} [- y])$

Etapa 2.2.2.1.3.3

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- y$ em relação a $y$ é $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 - (e^{- y} (- \frac{d}{d y} [y]))$

Etapa 2.2.2.1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 - (e^{- y} (- 1 \cdot 1))$

Etapa 2.2.2.1.3.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$0 - (e^{- y} \cdot - 1)$

Etapa 2.2.2.1.3.6

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{- y}$ .

$0 - (- 1 \cdot e^{- y})$

Etapa 2.2.2.1.3.7

Reescreva $- 1 e^{- y}$ como $- e^{- y}$ .

$0 - - e^{- y}$

Etapa 2.2.2.1.3.8

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$0 + 1 e^{- y}$

Etapa 2.2.2.1.3.9

Multiplique $e^{- y}$ por $1$ .

$0 + e^{- y}$

Etapa 2.2.2.1.4

Some $0$ e $e^{- y}$ .

$e^{- y}$

Etapa 2.2.2.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d x$

Etapa 2.2.3

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{2} |) + C_{1} = \int d x$

Etapa 2.2.4

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $1 - e^{- y}$ .

$\ln (| 1 - e^{- y} |) + C_{1} = \int d x$

Etapa 2.3

Aplique a regra da constante.

$\ln (| 1 - e^{- y} |) + C_{1} = x + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| 1 - e^{- y} |) = x + C$