Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = \frac{1}{x}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Resolva $\frac{d y}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Subtraia $\frac{1}{x}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} - \frac{1}{x} = 0$

Etapa 1.1.2

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d y}{d x}$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Subtraia $\frac{y}{x}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d y}{d x} - \frac{1}{x} = - \frac{y}{x}$

Etapa 1.1.2.2

Some $\frac{1}{x}$ aos dois lados da equação.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x} + \frac{1}{x}$

Etapa 1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y + 1}{x}$

Etapa 1.3

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{- y + 1}$ .

$\frac{1}{- y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- y + 1} \cdot \frac{- y + 1}{x}$

Etapa 1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Multiplique $\frac{1}{- y + 1}$ por $\frac{- y + 1}{x}$ .

$\frac{1}{- y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- y + 1}{(- y + 1) x}$

Etapa 1.4.2

Cancele o fator comum de $- y + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{- y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- y + 1}{(- y + 1) x}$

Etapa 1.4.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{- y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Etapa 1.5

Reescreva a equação.

$\frac{1}{- y + 1} d y = \frac{1}{x} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{- y + 1} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Deixe $u = - y + 1$ . Depois, $d u = - d y$ , então, $- d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Deixe $u = - y + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.1

Reescreva.

$\frac{- 1}{1}$

Etapa 2.2.1.1.2

Divida $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.2

Divida a fração em diversas frações.

$\int - \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.3

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.4

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.5

Simplifique.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- y + 1$ .

$- \ln (| - y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.3

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$- \ln (| - y + 1 |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$- \ln (| - y + 1 |) = \ln (| x |) + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$- \ln (| - y + 1 |) - \ln (| x |) = C$

Etapa 3.2

Some $\ln (| x |)$ aos dois lados da equação.

$- \ln (| - y + 1 |) = C + \ln (| x |)$

Etapa 3.3

Divida cada termo em $- \ln (| - y + 1 |) = C + \ln (| x |)$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Divida cada termo em $- \ln (| - y + 1 |) = C + \ln (| x |)$ por $- 1$ .

$\frac{- \ln (| - y + 1 |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\ln (| - y + 1 |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Etapa 3.3.2.2

Divida $\ln (| - y + 1 |)$ por $1$ .

$\ln (| - y + 1 |) = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Etapa 3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| - y + 1 |) = - 1 \cdot C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Etapa 3.3.3.1.2

Reescreva $- 1 \cdot C$ como $- C$ .

$\ln (| - y + 1 |) = - C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Etapa 3.3.3.1.3

Mova o número negativo do denominador de $\frac{\ln (| x |)}{- 1}$ .

$\ln (| - y + 1 |) = - C - 1 \cdot \ln (| x |)$

Etapa 3.3.3.1.4

Reescreva $- 1 \cdot \ln (| x |)$ como $- \ln (| x |)$ .

$\ln (| - y + 1 |) = - C - \ln (| x |)$

Etapa 3.4

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (| - y + 1 |) + \ln (| x |) = - C$

Etapa 3.5

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| - y + 1 | | x |) = - C$

Etapa 3.6

Para multiplicar valores absolutos, multiplique os termos dentro de cada um deles.

$\ln (| (- y + 1) x |) = - C$

Etapa 3.7

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (| - y x + 1 x |) = - C$

Etapa 3.8

Multiplique $x$ por $1$ .

$\ln (| - y x + x |) = - C$

Etapa 3.9

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| - y x + x |)} = e^{- C}$

Etapa 3.10

Reescreva $\ln (| - y x + x |) = - C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = | - y x + x |$

Etapa 3.11

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.1

Reescreva a equação como $| - y x + x | = e^{- C}$ .

$| - y x + x | = e^{- C}$

Etapa 3.11.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$- y x + x = \pm e^{- C}$

Etapa 3.11.3

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$- y x = \pm e^{- C} - x$

Etapa 3.11.4

Divida cada termo em $- y x = \pm e^{- C} - x$ por $- x$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.4.1

Divida cada termo em $- y x = \pm e^{- C} - x$ por $- x$ .

$\frac{- y x}{- x} = \frac{\pm e^{- C}}{- x} + \frac{- x}{- x}$

Etapa 3.11.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.4.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{- C}}{- x} + \frac{- x}{- x}$

Etapa 3.11.4.2.2

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.4.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{- C}}{- x} + \frac{- x}{- x}$

Etapa 3.11.4.2.2.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{- x} + \frac{- x}{- x}$

Etapa 3.11.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.4.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.4.3.1.1

Simplifique $\frac{\pm e^{- C}}{- x}$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{x} + \frac{- x}{- x}$

Etapa 3.11.4.3.1.2

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$y = \frac{\pm e^{- C}}{x} + \frac{x}{x}$

Etapa 3.11.4.3.1.3

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.4.3.1.3.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{\pm e^{- C}}{x} + \frac{x}{x}$

Etapa 3.11.4.3.1.3.2

Reescreva a expressão.

$y = \frac{\pm e^{- C}}{x} + 1$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{C}{x} + 1$