Cálculo Exemplos

$(1 + x) (y d) x + (1 - y) x d y = 0$

Etapa 1

Subtraia $(1 + x) y d x$ dos dois lados da equação.

$(1 - y) x d y = - (1 + x) y d x$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{1}{x y} ((1 - y) x) d y = \frac{1}{x y} (- (1 + x) y) d x$

Etapa 3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 3.1.1

Fatore $x$ de $x y$ .

$\frac{1}{x (y)} ((1 - y) x) d y = \frac{1}{x y} (- (1 + x) y) d x$

Etapa 3.1.2

Fatore $x$ de $(1 - y) x$ .

$\frac{1}{x (y)} (x (1 - y)) d y = \frac{1}{x y} (- (1 + x) y) d x$

Etapa 3.1.3

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{x y} (x (1 - y)) d y = \frac{1}{x y} (- (1 + x) y) d x$

Etapa 3.1.4

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y} (1 - y) d y = \frac{1}{x y} (- (1 + x) y) d x$

Etapa 3.2

Multiplique $\frac{1}{y}$ por $1 - y$ .

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{1}{x y} (- (1 + x) y) d x$

Etapa 3.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1 - y}{y} d y = - \frac{1}{x y} ((1 + x) y) d x$

Etapa 3.4

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 3.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{x y}$ para o numerador.

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{x y} ((1 + x) y) d x$

Etapa 3.4.2

Fatore $y$ de $x y$ .

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{y x} ((1 + x) y) d x$

Etapa 3.4.3

Fatore $y$ de $(1 + x) y$ .

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{y x} (y (1 + x)) d x$

Etapa 3.4.4

Cancele o fator comum.

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{y x} (y (1 + x)) d x$

Etapa 3.4.5

Reescreva a expressão.

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{x} (1 + x) d x$

Etapa 3.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1 - y}{y} d y = - \frac{1}{x} (1 + x) d x$

Etapa 3.6

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1 - y}{y} d y = (- \frac{1}{x} \cdot 1 - \frac{1}{x} x) d x$

Etapa 3.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - y}{y} d y = (- \frac{1}{x} - \frac{1}{x} x) d x$

Etapa 3.8

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 3.8.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{x}$ para o numerador.

$\frac{1 - y}{y} d y = (- \frac{1}{x} + \frac{- 1}{x} x) d x$

Etapa 3.8.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1 - y}{y} d y = (- \frac{1}{x} + \frac{- 1}{x} x) d x$

Etapa 3.8.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1 - y}{y} d y = (- \frac{1}{x} - 1) d x$

Etapa 4

Integre os dois lados.

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Etapa 4.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1 - y}{y} d y = \int - \frac{1}{x} - 1 d x$

Etapa 4.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Divida a fração em diversas frações.

$\int \frac{1}{y} + \frac{- y}{y} d y = \int - \frac{1}{x} - 1 d x$

Etapa 4.2.2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{- y}{y} d y = \int - \frac{1}{x} - 1 d x$

Etapa 4.2.3

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 4.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{- y}{y} d y = \int - \frac{1}{x} - 1 d x$

Etapa 4.2.3.2

Divida $- 1$ por $1$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int - 1 d y = \int - \frac{1}{x} - 1 d x$

Etapa 4.2.4

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} + \int - 1 d y = \int - \frac{1}{x} - 1 d x$

Etapa 4.2.5

Aplique a regra da constante.

$\ln (| y |) + C_{1} - y + C_{2} = \int - \frac{1}{x} - 1 d x$

Etapa 4.2.6

Simplifique.

$\ln (| y |) - y + C_{3} = \int - \frac{1}{x} - 1 d x$

Etapa 4.2.7

Reordene os termos.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = \int - \frac{1}{x} - 1 d x$

Etapa 4.3

Integre o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x + \int - 1 d x$

Etapa 4.3.2

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int \frac{1}{x} d x + \int - 1 d x$

Etapa 4.3.3

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (\ln (| x |) + C_{4}) + \int - 1 d x$

Etapa 4.3.4

Aplique a regra da constante.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (\ln (| x |) + C_{4}) - x + C_{5}$

Etapa 4.3.5

Simplifique.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - \ln (| x |) - x + C_{6}$

Etapa 4.3.6

Reordene os termos.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - x - \ln (| x |) + C_{6}$

Etapa 4.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$- y + \ln (| y |) = - x - \ln (| x |) + C$