Cálculo Exemplos

$x (y d) x + (x + 1) d y = 0$

Etapa 1

Subtraia $x y d x$ dos dois lados da equação.

$(x + 1) d y = - x y d x$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{(x + 1) y}$ .

$\frac{1}{(x + 1) y} (x + 1) d y = \frac{1}{(x + 1) y} (- x y) d x$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

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Etapa 3.1.1

Fatore $x + 1$ de $(x + 1) y$ .

$\frac{1}{(x + 1) (y)} (x + 1) d y = \frac{1}{(x + 1) y} (- x y) d x$

Etapa 3.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{(x + 1) y} (x + 1) d y = \frac{1}{(x + 1) y} (- x y) d x$

Etapa 3.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(x + 1) y} (- x y) d x$

Etapa 3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{(x + 1) y} (x y) d x$

Etapa 3.3

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 3.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{(x + 1) y}$ para o numerador.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{(x + 1) y} (x y) d x$

Etapa 3.3.2

Fatore $y$ de $(x + 1) y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (x + 1)} (x y) d x$

Etapa 3.3.3

Fatore $y$ de $x y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (x + 1)} (y x) d x$

Etapa 3.3.4

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (x + 1)} (y x) d x$

Etapa 3.3.5

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{x + 1} x d x$

Etapa 3.4

Combine $\frac{- 1}{x + 1}$ e $x$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- x}{x + 1} d x$

Etapa 3.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x}{x + 1} d x$

Etapa 4

Integre os dois lados.

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Etapa 4.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{x}{x + 1} d x$

Etapa 4.2

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{x}{x + 1} d x$

Etapa 4.3

Integre o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{x}{x + 1} d x$

Etapa 4.3.2

Divida $x$ por $x + 1$ .

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Etapa 4.3.2.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

Etapa 4.3.2.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

Etapa 4.3.2.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$1$

Etapa 4.3.2.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x + 1$ .

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$

Etapa 4.3.2.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$
					-	$1$

Etapa 4.3.2.6

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int 1 - \frac{1}{x + 1} d x$

Etapa 4.3.3

Divida a integral única em várias integrais.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\int d x + \int - \frac{1}{x + 1} d x)$

Etapa 4.3.4

Aplique a regra da constante.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (x + C_{2} + \int - \frac{1}{x + 1} d x)$

Etapa 4.3.5

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (x + C_{2} - \int \frac{1}{x + 1} d x)$

Etapa 4.3.6

Deixe $u = x + 1$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.3.6.1

Deixe $u = x + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 4.3.6.1.1

Diferencie $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 4.3.6.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 4.3.6.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 4.3.6.1.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 4.3.6.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 4.3.6.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (x + C_{2} - \int \frac{1}{u} d u)$

Etapa 4.3.7

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (x + C_{2} - (\ln (| u |) + C_{3}))$

Etapa 4.3.8

Simplifique.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (x - \ln (| u |)) + C_{4}$

Etapa 4.3.9

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (x - \ln (| x + 1 |)) + C_{4}$

Etapa 4.3.10

Simplifique.

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Etapa 4.3.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (| y |) + C_{1} = - x - - \ln (| x + 1 |) + C_{4}$

Etapa 4.3.10.2

Multiplique $- - \ln (| x + 1 |)$ .

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Etapa 4.3.10.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - x + 1 \ln (| x + 1 |) + C_{4}$

Etapa 4.3.10.2.2

Multiplique $\ln (| x + 1 |)$ por $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - x + \ln (| x + 1 |) + C_{4}$

Etapa 4.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| y |) = - x + \ln (| x + 1 |) + C$

Etapa 5

Resolva $y$ .

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Etapa 5.1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (| y |) - \ln (| x + 1 |) = - x + C$

Etapa 5.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{| x + 1 |}) = - x + C$

Etapa 5.3

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| x + 1 |})} = e^{- x + C}$

Etapa 5.4

Reescreva $\ln (\frac{| y |}{| x + 1 |}) = - x + C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- x + C} = \frac{| y |}{| x + 1 |}$

Etapa 5.5

Resolva $y$ .

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Etapa 5.5.1

Reescreva a equação como $\frac{| y |}{| x + 1 |} = e^{- x + C}$ .

$\frac{| y |}{| x + 1 |} = e^{- x + C}$

Etapa 5.5.2

Multiplique os dois lados por $| x + 1 |$ .

$\frac{| y |}{| x + 1 |} | x + 1 | = e^{- x + C} | x + 1 |$

Etapa 5.5.3

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.5.3.1

Cancele o fator comum de $| x + 1 |$ .

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Etapa 5.5.3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{| y |}{| x + 1 |} | x + 1 | = e^{- x + C} | x + 1 |$

Etapa 5.5.3.1.2

Reescreva a expressão.

$| y | = e^{- x + C} | x + 1 |$

Etapa 5.5.4

Resolva $y$ .

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Etapa 5.5.4.1

Reordene os fatores em $e^{- x + C} | x + 1 |$ .

$| y | = | x + 1 | e^{- x + C}$

Etapa 5.5.4.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$y = \pm | x + 1 | e^{- x + C}$

Etapa 6

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 6.1

Reescreva $e^{- x + C}$ como $e^{- x} e^{C}$ .

$y = \pm | x + 1 | (e^{- x} e^{C})$

Etapa 6.2

Reordene $e^{- x}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm | x + 1 | (e^{C} e^{- x})$

Etapa 6.3

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = C | x + 1 | e^{- x}$