Cálculo Exemplos

$y d x = x (1 + x y^{4}) d y$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial para ajustá-la à técnica de equação diferencial exata.

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Etapa 1.1

Subtraia $x (1 + x y^{4}) d y$ dos dois lados da equação.

$y d x - x (1 + x y^{4}) d y = 0$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = y$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Etapa 3

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = - x (1 + x y^{4})$ .

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Etapa 3.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- x (1 + x y^{4})]$

Etapa 3.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x (1 + x y^{4})$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x (1 + x y^{4})]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x (1 + x y^{4})]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = 1 + x y^{4}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x \frac{d}{d x} [1 + x y^{4}] + (1 + x y^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.4

Diferencie.

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Etapa 3.4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + x y^{4}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x y^{4}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x y^{4}]) + (1 + x y^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.4.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x (0 + \frac{d}{d x} [x y^{4}]) + (1 + x y^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.4.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [x y^{4}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x \frac{d}{d x} [x y^{4}] + (1 + x y^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.4.4

Como $y^{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $x y^{4}$ em relação a $x$ é $y^{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x (y^{4} \frac{d}{d x} [x]) + (1 + x y^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.4.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x (y^{4} \cdot 1) + (1 + x y^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.4.6

Multiplique $y^{4}$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x y^{4} + (1 + x y^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.4.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x y^{4} + (1 + x y^{4}) \cdot 1)$

Etapa 3.4.8

Simplifique somando os termos.

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Etapa 3.4.8.1

Multiplique $1 + x y^{4}$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x y^{4} + 1 + x y^{4})$

Etapa 3.4.8.2

Some $x y^{4}$ e $x y^{4}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x y^{4} + 1)$

Etapa 3.5

Simplifique.

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Etapa 3.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x y^{4}) - 1 \cdot 1$

Etapa 3.5.2

Combine os termos.

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Etapa 3.5.2.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 (x y^{4}) - 1 \cdot 1$

Etapa 3.5.2.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x y^{4} - 1$

Etapa 3.5.3

Reordene os termos.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 y^{4} x - 1$

Etapa 4

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 4.1

Substitua $1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $- 2 y^{4} x - 1$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$1 = - 2 y^{4} x - 1$

Etapa 4.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$1 = - 2 y^{4} x - 1$ não é uma identidade.

Etapa 5

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Etapa 5.1

Substitua $1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{1 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Etapa 5.2

Substitua $- 2 y^{4} x - 1$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{1 - (- 2 y^{4} x - 1)}{N}$

Etapa 5.3

Substitua $- x (1 + x y^{4})$ por $N$ .

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Etapa 5.3.1

Substitua $- x (1 + x y^{4})$ por $N$ .

$\frac{1 - (- 2 y^{4} x - 1)}{- x (1 + x y^{4})}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1 - (- 2 y^{4} x) - - 1}{- x (1 + x y^{4})}$

Etapa 5.3.2.2

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{1 + 2 (y^{4} x) - - 1}{- x (1 + x y^{4})}$

Etapa 5.3.2.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1 + 2 (y^{4} x) + 1}{- x (1 + x y^{4})}$

Etapa 5.3.2.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{2 y^{4} x + 2}{- x (1 + x y^{4})}$

Etapa 5.3.2.5

Fatore $2$ de $2 y^{4} x + 2$ .

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Etapa 5.3.2.5.1

Fatore $2$ de $2 y^{4} x$ .

$\frac{2 (y^{4} x) + 2}{- x (1 + x y^{4})}$

Etapa 5.3.2.5.2

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (y^{4} x) + 2 (1)}{- x (1 + x y^{4})}$

Etapa 5.3.2.5.3

Fatore $2$ de $2 (y^{4} x) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (y^{4} x + 1)}{- x (1 + x y^{4})}$

Etapa 5.3.3

Cancele o fator comum de $y^{4} x + 1$ e $1 + x y^{4}$ .

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Etapa 5.3.3.1

Reordene os termos.

$\frac{2 (y^{4} x + 1)}{- x (y^{4} x + 1)}$

Etapa 5.3.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (y^{4} x + 1)}{- x (y^{4} x + 1)}$

Etapa 5.3.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{- x}$

Etapa 5.3.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2}{x}$

Etapa 5.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Etapa 6

Avalie a integral $e^{\int - \frac{2}{x} d x}$ .

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Etapa 6.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Etapa 6.2

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Etapa 6.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Etapa 6.4

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Etapa 6.5

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| x |)} + C$

Etapa 6.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.6.1

Simplifique $- 2 \ln (| x |)$ movendo $- 2$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 2})} + C$

Etapa 6.6.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 2} + C$

Etapa 6.6.3

Remova o valor absoluto em ${| x |}^{- 2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$μ (x, y) = x^{- 2} + C$

Etapa 6.6.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{2}} + C$

Etapa 7

Multiplique ambos os lados de $y d x - x (1 + x y^{4}) d y = 0$ pelo fator de integração $\frac{1}{x^{2}}$ .

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Etapa 7.1

Multiplique $y$ por $\frac{1}{x^{2}}$ .

$y \frac{1}{x^{2}} d x - x (1 + x y^{4}) d y = 0$

Etapa 7.2

Combine $y$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{y}{x^{2}} d x - x (1 + x y^{4}) d y = 0$

Etapa 7.3

Multiplique $- x (1 + x y^{4})$ por $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{y}{x^{2}} d x - x (1 + x y^{4}) \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Etapa 7.4

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 7.4.1

Fatore $x$ de $- x (1 + x y^{4})$ .

$\frac{y}{x^{2}} d x + x (- 1 (1 + x y^{4})) \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Etapa 7.4.2

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{y}{x^{2}} d x + x (- 1 (1 + x y^{4})) \frac{1}{x \cdot x} d y = 0$

Etapa 7.4.3

Cancele o fator comum.

$\frac{y}{x^{2}} d x + x (- 1 (1 + x y^{4})) \frac{1}{x \cdot x} d y = 0$

Etapa 7.4.4

Reescreva a expressão.

$\frac{y}{x^{2}} d x - 1 (1 + x y^{4}) \frac{1}{x} d y = 0$

Etapa 7.5

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{y}{x^{2}} d x + (- 1 \cdot 1 - 1 (x y^{4})) \frac{1}{x} d y = 0$

Etapa 7.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{y}{x^{2}} d x + (- 1 - 1 (x y^{4})) \frac{1}{x} d y = 0$

Etapa 7.7

Reescreva $- 1 (x y^{4})$ como $- (x y^{4})$ .

$\frac{y}{x^{2}} d x + (- 1 - (x y^{4})) \frac{1}{x} d y = 0$

Etapa 7.8

Multiplique $- 1 - x y^{4}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y}{x^{2}} d x + \frac{- 1 - x y^{4}}{x} d y = 0$

Etapa 7.9

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{y}{x^{2}} d x + \frac{- 1 (1) - x y^{4}}{x} d y = 0$

Etapa 7.10

Fatore $- 1$ de $- x y^{4}$ .

$\frac{y}{x^{2}} d x + \frac{- 1 (1) - (x y^{4})}{x} d y = 0$

Etapa 7.11

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - (x y^{4})$ .

$\frac{y}{x^{2}} d x + \frac{- 1 (1 + x y^{4})}{x} d y = 0$

Etapa 7.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{y}{x^{2}} d x - \frac{1 + x y^{4}}{x} d y = 0$

Etapa 8

A integral de $f (x, y)$ é $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{y}{x^{2}} d x$

Etapa 9

Integre $M (x, y) = \frac{y}{x^{2}}$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 9.1

Como $y$ é constante com relação a $x$ , mova $y$ para fora da integral.

$f (x, y) = y \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 9.2

Mova $x^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$f (x, y) = y \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Etapa 9.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 9.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = y \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Etapa 9.3.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f (x, y) = y \int x^{- 2} d x$

Etapa 9.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 2}$ com relação a $x$ é $- x^{- 1}$ .

$f (x, y) = y (- x^{- 1} + C)$

Etapa 9.5

Simplifique a resposta.

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Etapa 9.5.1

Reescreva $y (- x^{- 1} + C)$ como $y (- \frac{1}{x}) + C$ .

$f (x, y) = y (- \frac{1}{x}) + C$

Etapa 9.5.2

Combine $y$ e $\frac{1}{x}$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{x} + C$

Etapa 10

Como a integral de $g (y)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (y)$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{x} + g (y)$

Etapa 11

Defina $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{1 + x y^{4}}{x}$

Etapa 12

Encontre $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Etapa 12.1

Diferencie $f$ em relação a $y$ .

$\frac{d}{d y} [- \frac{y}{x} + g (y)] = - \frac{1 + x y^{4}}{x}$

Etapa 12.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- \frac{y}{x} + g (y)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [- \frac{y}{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [- \frac{y}{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y^{4}}{x}$

Etapa 12.3

Avalie $\frac{d}{d y} [- \frac{y}{x}]$ .

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Etapa 12.3.1

Como $- \frac{1}{x}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- \frac{y}{x}$ em relação a $y$ é $- \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y^{4}}{x}$

Etapa 12.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y^{4}}{x}$

Etapa 12.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{x} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y^{4}}{x}$

Etapa 12.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (y)$ é $\frac{d g}{d y}$ .

$- \frac{1}{x} + \frac{d g}{d y} = - \frac{1 + x y^{4}}{x}$

Etapa 12.5

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d y} - \frac{1}{x} = - \frac{1 + x y^{4}}{x}$

Etapa 13

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

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Etapa 13.1

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

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Etapa 13.1.1

Mova todos os termos que contêm variáveis para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 13.1.1.1

Some $\frac{1 + x y^{4}}{x}$ aos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} - \frac{1}{x} + \frac{1 + x y^{4}}{x} = 0$

Etapa 13.1.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 1 + 1 + x y^{4}}{x} = 0$

Etapa 13.1.1.3

Some $- 1$ e $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 + x y^{4}}{x} = 0$

Etapa 13.1.1.4

Some $0$ e $x y^{4}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x y^{4}}{x} = 0$

Etapa 13.1.1.5

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 13.1.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x y^{4}}{x} = 0$

Etapa 13.1.1.5.2

Divida $y^{4}$ por $1$ .

$\frac{d g}{d y} + y^{4} = 0$

Etapa 13.1.2

Subtraia $y^{4}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} = - y^{4}$

Etapa 14

Encontre a antiderivada de $- y^{4}$ para encontrar $g (y)$ .

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Etapa 14.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d y} = - y^{4}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - y^{4} d y$

Etapa 14.2

Avalie $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - y^{4} d y$

Etapa 14.3

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$g (y) = - \int y^{4} d y$

Etapa 14.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{4}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{5} y^{5}$ .

$g (y) = - (\frac{1}{5} y^{5} + C)$

Etapa 14.5

Reescreva $- (\frac{1}{5} y^{5} + C)$ como $- \frac{1}{5} y^{5} + C$ .

$g (y) = - \frac{1}{5} y^{5} + C$

Etapa 15

Substitua por $g (y)$ em $f (x, y) = - \frac{y}{x} + g (y)$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{x} - \frac{1}{5} y^{5} + C$

Etapa 16

Combine $y^{5}$ e $\frac{1}{5}$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{x} - \frac{y^{5}}{5} + C$