Cálculo Exemplos

$25 \frac{d T}{d t} + T = 80 e^{- 0.04 t}$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial como $\frac{d T}{d t} + M (t) T = Q (t)$ .

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Etapa 1.1

Divida cada termo em $25 \frac{d T}{d t} + T = 80 e^{- 0.04 t}$ por $25$ .

$\frac{25 \frac{d T}{d t}}{25} + \frac{T}{25} = \frac{80 e^{- 0.04 t}}{25}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $25$ .

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{25 \frac{d T}{d t}}{25} + \frac{T}{25} = \frac{80 e^{- 0.04 t}}{25}$

Etapa 1.2.2

Divida $\frac{d T}{d t}$ por $1$ .

$\frac{d T}{d t} + \frac{T}{25} = \frac{80 e^{- 0.04 t}}{25}$

Etapa 1.3

Cancele o fator comum de $80$ e $25$ .

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Etapa 1.3.1

Fatore $5$ de $80 e^{- 0.04 t}$ .

$\frac{d T}{d t} + \frac{T}{25} = \frac{5 (16 e^{- 0.04 t})}{25}$

Etapa 1.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.3.2.1

Fatore $5$ de $25$ .

$\frac{d T}{d t} + \frac{T}{25} = \frac{5 (16 e^{- 0.04 t})}{5 (5)}$

Etapa 1.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d T}{d t} + \frac{T}{25} = \frac{5 (16 e^{- 0.04 t})}{5 \cdot 5}$

Etapa 1.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d T}{d t} + \frac{T}{25} = \frac{16 e^{- 0.04 t}}{5}$

Etapa 1.4

Reordene os termos.

$\frac{d T}{d t} + \frac{1}{25} T = \frac{16}{5} e^{- 0.04 t}$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (t) d t}$ , em que $P (t) = \frac{1}{25}$ .

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Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int \frac{1}{25} d t}$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$e^{\frac{1}{25} t + C}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{\frac{1}{25} t}$

Etapa 2.4

Combine $\frac{1}{25}$ e $t$ .

$e^{\frac{t}{25}}$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{\frac{t}{25}}$ .

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $e^{\frac{t}{25}}$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + e^{\frac{t}{25}} (\frac{1}{25} T) = e^{\frac{t}{25}} (\frac{16}{5} e^{- 0.04 t})$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{1}{25} e^{\frac{t}{25}} T = e^{\frac{t}{25}} (\frac{16}{5} e^{- 0.04 t})$

Etapa 3.2.2

Combine $\frac{1}{25}$ e $e^{\frac{t}{25}}$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}}}{25} T = e^{\frac{t}{25}} (\frac{16}{5} e^{- 0.04 t})$

Etapa 3.2.3

Combine $\frac{e^{\frac{t}{25}}}{25}$ e $T$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = e^{\frac{t}{25}} (\frac{16}{5} e^{- 0.04 t})$

Etapa 3.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{\frac{t}{25}} e^{- 0.04 t}$

Etapa 3.4

Multiplique $e^{\frac{t}{25}}$ por $e^{- 0.04 t}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.4.1

Mova $e^{- 0.04 t}$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} (e^{- 0.04 t} e^{\frac{t}{25}})$

Etapa 3.4.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{- 0.04 t + \frac{t}{25}}$

Etapa 3.4.3

Para escrever $- 0.04 t$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{25}{25}$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{- 0.04 t \cdot \frac{25}{25} + \frac{t}{25}}$

Etapa 3.4.4

Combine $- 0.04 t$ e $\frac{25}{25}$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{\frac{- 0.04 t \cdot 25}{25} + \frac{t}{25}}$

Etapa 3.4.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{\frac{- 0.04 t \cdot 25 + t}{25}}$

Etapa 3.4.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.4.6.1

Fatore $t$ de $- 0.04 t \cdot 25 + t$ .

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Etapa 3.4.6.1.1

Fatore $t$ de $- 0.04 t \cdot 25$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{\frac{t (- 0.04 \cdot 25) + t}{25}}$

Etapa 3.4.6.1.2

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{\frac{t (- 0.04 \cdot 25) + t^{1}}{25}}$

Etapa 3.4.6.1.3

Fatore $t$ de $t^{1}$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{\frac{t (- 0.04 \cdot 25) + t \cdot 1}{25}}$

Etapa 3.4.6.1.4

Fatore $t$ de $t (- 0.04 \cdot 25) + t \cdot 1$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{\frac{t (- 0.04 \cdot 25 + 1)}{25}}$

Etapa 3.4.6.2

Multiplique $- 0.04$ por $25$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{\frac{t (- 1 + 1)}{25}}$

Etapa 3.4.6.3

Some $- 1$ e $1$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{\frac{t \cdot 0}{25}}$

Etapa 3.4.7

Multiplique $t$ por $0$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{\frac{0}{25}}$

Etapa 3.4.8

Divida $0$ por $25$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{0}$

Etapa 3.5

Simplifique $\frac{16}{5} e^{0}$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5}$

Etapa 3.6

Reordene os fatores em $e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5}$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{T e^{\frac{t}{25}}}{25} = \frac{16}{5}$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d t} [e^{\frac{t}{25}} T] = \frac{16}{5}$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d t} [e^{\frac{t}{25}} T] d t = \int \frac{16}{5} d t$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$e^{\frac{t}{25}} T = \int \frac{16}{5} d t$

Etapa 7

Aplique a regra da constante.

$e^{\frac{t}{25}} T = \frac{16}{5} t + C$

Etapa 8

Divida cada termo em $e^{\frac{t}{25}} T = \frac{16}{5} t + C$ por $e^{\frac{t}{25}}$ e simplifique.

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Etapa 8.1

Divida cada termo em $e^{\frac{t}{25}} T = \frac{16}{5} t + C$ por $e^{\frac{t}{25}}$ .

$\frac{e^{\frac{t}{25}} T}{e^{\frac{t}{25}}} = \frac{\frac{16}{5} t}{e^{\frac{t}{25}}} + \frac{C}{e^{\frac{t}{25}}}$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum de $e^{\frac{t}{25}}$ .

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Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{\frac{t}{25}} T}{e^{\frac{t}{25}}} = \frac{\frac{16}{5} t}{e^{\frac{t}{25}}} + \frac{C}{e^{\frac{t}{25}}}$

Etapa 8.2.1.2

Divida $T$ por $1$ .

$T = \frac{\frac{16}{5} t}{e^{\frac{t}{25}}} + \frac{C}{e^{\frac{t}{25}}}$

Etapa 8.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.3.1.1

Combine $\frac{16}{5}$ e $t$ .

$T = \frac{\frac{16 t}{5}}{e^{\frac{t}{25}}} + \frac{C}{e^{\frac{t}{25}}}$

Etapa 8.3.1.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$T = \frac{16 t}{5} \cdot \frac{1}{e^{\frac{t}{25}}} + \frac{C}{e^{\frac{t}{25}}}$

Etapa 8.3.1.3

Combine.

$T = \frac{16 t \cdot 1}{5 e^{\frac{t}{25}}} + \frac{C}{e^{\frac{t}{25}}}$

Etapa 8.3.1.4

Multiplique $16$ por $1$ .

$T = \frac{16 t}{5 e^{\frac{t}{25}}} + \frac{C}{e^{\frac{t}{25}}}$