Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{3}}{e^{x}}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} \cdot \frac{y^{3}}{e^{x}}$

Etapa 1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Combine.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 y^{3}}{y^{3} e^{x}}$

Etapa 1.2.2

Cancele o fator comum de $y^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 y^{3}}{y^{3} e^{x}}$

Etapa 1.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{x}}$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y^{3}} d y = \frac{1}{e^{x}} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y^{3}} d y = \int \frac{1}{e^{x}} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Mova $y^{3}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int {(y^{3})}^{- 1} d y = \int \frac{1}{e^{x}} d x$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique os expoentes em ${(y^{3})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{3 \cdot - 1} d y = \int \frac{1}{e^{x}} d x$

Etapa 2.2.1.2.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\int y^{- 3} d y = \int \frac{1}{e^{x}} d x$

Etapa 2.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{- 3}$ com relação a $y$ é $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1} = \int \frac{1}{e^{x}} d x$

Etapa 2.2.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Reescreva $- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1}$ como $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{e^{x}} d x$

Etapa 2.2.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.2.1

Multiplique $\frac{1}{y^{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y^{2} \cdot 2} + C_{1} = \int \frac{1}{e^{x}} d x$

Etapa 2.2.3.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $y^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{e^{x}} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Negative o expoente de $e^{x}$ e o mova para fora do denominador.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \int 1 {(e^{x})}^{- 1} d x$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.2.1

Multiplique os expoentes em ${(e^{x})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \int 1 e^{x \cdot - 1} d x$

Etapa 2.3.1.2.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \int 1 e^{- 1 \cdot x} d x$

Etapa 2.3.1.2.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \int 1 e^{- x} d x$

Etapa 2.3.1.2.2

Multiplique $e^{- x}$ por $1$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \int e^{- x} d x$

Etapa 2.3.2

Deixe $u = - x$ . Depois, $d u = - d x$ , então, $- d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Deixe $u = - x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1

Diferencie $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.3.2.1.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Etapa 2.3.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 2.3.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \int - e^{u} d u$

Etapa 2.3.3

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = - \int e^{u} d u$

Etapa 2.3.4

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = - (e^{u} + C_{2})$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = - e^{u} + C_{2}$

Etapa 2.3.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = - e^{- x} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} = - e^{- x} + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 3.1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$2 y^{2}, 1, 1$

Etapa 3.1.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$2 y^{2}$

Etapa 3.2

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{2 y^{2}} = - e^{- x} + K$ por $2 y^{2}$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{2 y^{2}} = - e^{- x} + K$ por $2 y^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = - e^{- x} (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum de $2 y^{2}$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{2 y^{2}}$ para o numerador.

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = - e^{- x} (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Etapa 3.2.2.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = - e^{- x} (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Etapa 3.2.2.1.3

Reescreva a expressão.

$- 1 = - e^{- x} (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Etapa 3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- 1 = - 1 \cdot 2 e^{- x} y^{2} + K (2 y^{2})$

Etapa 3.2.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 1 = - 2 e^{- x} y^{2} + K (2 y^{2})$

Etapa 3.2.3.1.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- 1 = - 2 e^{- x} y^{2} + 2 K y^{2}$

Etapa 3.2.3.2

Reordene os fatores em $- 2 e^{- x} y^{2} + 2 K y^{2}$ .

$- 1 = - 2 y^{2} e^{- x} + 2 K y^{2}$

Etapa 3.3

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $- 2 y^{2} e^{- x} + 2 K y^{2} = - 1$ .

$- 2 y^{2} e^{- x} + 2 K y^{2} = - 1$

Etapa 3.3.2

Fatore $2 y^{2}$ de $- 2 y^{2} e^{- x} + 2 K y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Fatore $2 y^{2}$ de $- 2 y^{2} e^{- x}$ .

$2 y^{2} (- 1 e^{- x}) + 2 K y^{2} = - 1$

Etapa 3.3.2.2

Fatore $2 y^{2}$ de $2 K y^{2}$ .

$2 y^{2} (- 1 e^{- x}) + 2 y^{2} K = - 1$

Etapa 3.3.2.3

Fatore $2 y^{2}$ de $2 y^{2} (- 1 e^{- x}) + 2 y^{2} K$ .

$2 y^{2} (- 1 e^{- x} + K) = - 1$

Etapa 3.3.3

Reescreva $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$2 y^{2} (- e^{- x} + K) = - 1$

Etapa 3.3.4

Divida cada termo em $2 y^{2} (- e^{- x} + K) = - 1$ por $2 (- e^{- x} + K)$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.1

Divida cada termo em $2 y^{2} (- e^{- x} + K) = - 1$ por $2 (- e^{- x} + K)$ .

$\frac{2 y^{2} (- e^{- x} + K)}{2 (- e^{- x} + K)} = \frac{- 1}{2 (- e^{- x} + K)}$

Etapa 3.3.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y^{2} (- e^{- x} + K)}{2 (- e^{- x} + K)} = \frac{- 1}{2 (- e^{- x} + K)}$

Etapa 3.3.4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y^{2} (- e^{- x} + K)}{- e^{- x} + K} = \frac{- 1}{2 (- e^{- x} + K)}$

Etapa 3.3.4.2.2

Cancele o fator comum de $- e^{- x} + K$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y^{2} (- e^{- x} + K)}{- e^{- x} + K} = \frac{- 1}{2 (- e^{- x} + K)}$

Etapa 3.3.4.2.2.2

Divida $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{- 1}{2 (- e^{- x} + K)}$

Etapa 3.3.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y^{2} = - \frac{1}{2 (- e^{- x} + K)}$

Etapa 3.3.4.3.2

Fatore $- 1$ de $- e^{- x}$ .

$y^{2} = - \frac{1}{2 (- (e^{- x}) + K)}$

Etapa 3.3.4.3.3

Fatore $- 1$ de $K$ .

$y^{2} = - \frac{1}{2 (- (e^{- x}) - 1 (- K))}$

Etapa 3.3.4.3.4

Fatore $- 1$ de $- (e^{- x}) - 1 (- K)$ .

$y^{2} = - \frac{1}{2 (- (e^{- x} - K))}$

Etapa 3.3.4.3.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.3.5.1

Reescreva $- (e^{- x} - K)$ como $- 1 (e^{- x} - K)$ .

$y^{2} = - \frac{1}{2 (- 1 (e^{- x} - K))}$

Etapa 3.3.4.3.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y^{2} = - - \frac{1}{2 (e^{- x} - K)}$

Etapa 3.3.4.3.5.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y^{2} = 1 \frac{1}{2 (e^{- x} - K)}$

Etapa 3.3.4.3.5.4

Multiplique $\frac{1}{2 (e^{- x} - K)}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{1}{2 (e^{- x} - K)}$

Etapa 3.3.5

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{\frac{1}{2 (e^{- x} - K)}}$

Etapa 3.3.6

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{1}{2 (e^{- x} - K)}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.6.1

Reescreva $\sqrt{\frac{1}{2 (e^{- x} - K)}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}$

Etapa 3.3.6.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$y = \pm \frac{1}{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}$

Etapa 3.3.6.3

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}$ por $\frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}$ .

$y = \pm \frac{1}{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}} \cdot \frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}$

Etapa 3.3.6.4

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.6.4.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}$ por $\frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{\sqrt{2 (e^{- x} - K)} \sqrt{2 (e^{- x} - K)}}$

Etapa 3.3.6.4.2

Eleve $\sqrt{2 (e^{- x} - K)}$ à potência de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}^{1} \sqrt{2 (e^{- x} - K)}}$

Etapa 3.3.6.4.3

Eleve $\sqrt{2 (e^{- x} - K)}$ à potência de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}^{1} {\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}^{1}}$

Etapa 3.3.6.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}^{1 + 1}}$

Etapa 3.3.6.4.5

Some $1$ e $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}^{2}}$

Etapa 3.3.6.4.6

Reescreva ${\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}^{2}$ como $2 (e^{- x} - K)$ .

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Etapa 3.3.6.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2 (e^{- x} - K)}$ como ${(2 (e^{- x} - K))}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{{({(2 (e^{- x} - K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 3.3.6.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{{(2 (e^{- x} - K))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 3.3.6.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{{(2 (e^{- x} - K))}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.3.6.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.6.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{{(2 (e^{- x} - K))}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.3.6.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{{(2 (e^{- x} - K))}^{1}}$

Etapa 3.3.6.4.6.5

Simplifique.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{2 (e^{- x} - K)}$

Etapa 3.3.7

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.7.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{2 (e^{- x} - K)}$

Etapa 3.3.7.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{2 (e^{- x} - K)}$

Etapa 3.3.7.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{2 (e^{- x} - K)}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{2 (e^{- x} - K)}$

$y = \frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{2 (e^{- x} - K)}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{2 (e^{- x} - K)}$

$y = \frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{2 (e^{- x} - K)}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{2 (e^{- x} - K)}$

$y = \frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{2 (e^{- x} - K)}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{2 (e^{- x} - K)}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{\sqrt{2 (e^{- x} + K)}}{2 (e^{- x} + K)}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (e^{- x} + K)}}{2 (e^{- x} + K)}$