Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \sqrt{x^{3} - 3}}{y^{2}}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x^{2} \sqrt{x^{3} - 3}}{y^{2}}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x^{2} \sqrt{x^{3} - 3}}{y^{2}}$

Etapa 1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = x^{2} \sqrt{x^{3} - 3}$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$y^{2} d y = x^{2} \sqrt{x^{3} - 3} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int y^{2} d y = \int x^{2} \sqrt{x^{3} - 3} d x$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int x^{2} \sqrt{x^{3} - 3} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Deixe $u = x^{3} - 3$ . Depois, $d u = 3 x^{2} d x$ , então, $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.3.1.1

Deixe $u = x^{3} - 3$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.3.1.1.1

Diferencie $x^{3} - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} - 3]$

Etapa 2.3.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 2.3.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 2.3.1.1.4

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Etapa 2.3.1.1.5

Some $3 x^{2}$ e $0$ .

$3 x^{2}$

Etapa 2.3.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \sqrt{u} \frac{1}{3} d u$

Etapa 2.3.2

Combine $\sqrt{u}$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{\sqrt{u}}{3} d u$

Etapa 2.3.3

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} \int \sqrt{u} d u$

Etapa 2.3.4

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 2.3.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2})$

Etapa 2.3.6

Simplifique.

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Etapa 2.3.6.1

Reescreva $\frac{1}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2})$ como $\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.6.2

Simplifique.

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Etapa 2.3.6.2.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{2}{3 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.6.2.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{2}{9} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{3} - 3$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{2}{9} {(x^{3} - 3)}^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = \frac{2}{9} {(x^{3} - 3)}^{\frac{3}{2}} + K$