Cálculo Exemplos

$x d y = y (x e^{2 x} + 1) d x$

Etapa 1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (y (x e^{2 x} + 1)) d x$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 2.1.1

Fatore $x$ de $x y$ .

$\frac{1}{x (y)} x d y = \frac{1}{x y} (y (x e^{2 x} + 1)) d x$

Etapa 2.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (y (x e^{2 x} + 1)) d x$

Etapa 2.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{x y} (y (x e^{2 x} + 1)) d x$

Etapa 2.2

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 2.2.1

Fatore $y$ de $x y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y x} (y (x e^{2 x} + 1)) d x$

Etapa 2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y x} (y (x e^{2 x} + 1)) d x$

Etapa 2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{x} (x e^{2 x} + 1) d x$

Etapa 2.3

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $x e^{2 x} + 1$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{x e^{2 x} + 1}{x} d x$

Etapa 3

Integre os dois lados.

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Etapa 3.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x e^{2 x} + 1}{x} d x$

Etapa 3.2

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x e^{2 x} + 1}{x} d x$

Etapa 3.3

Integre o lado direito.

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Etapa 3.3.1

Divida a fração em diversas frações.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x e^{2 x}}{x} + \frac{1}{x} d x$

Etapa 3.3.2

Divida a integral única em várias integrais.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x e^{2 x}}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 3.3.3

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 3.3.3.1

Cancele o fator comum.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x e^{2 x}}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 3.3.3.2

Divida $e^{2 x}$ por $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int e^{2 x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 3.3.4

Deixe $u = 2 x$ . Depois, $d u = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 3.3.4.1

Deixe $u = 2 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 3.3.4.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 3.3.4.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3.4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 3.3.4.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 3.3.4.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int e^{u} \frac{1}{2} d u + \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 3.3.5

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{e^{u}}{2} d u + \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 3.3.6

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int e^{u} d u + \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 3.3.7

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2}) + \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 3.3.8

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2}) + \ln (| x |) + C_{3}$

Etapa 3.3.9

Simplifique.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} e^{u} + \ln (| x |) + C_{4}$

Etapa 3.3.10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} e^{2 x} + \ln (| x |) + C_{4}$

Etapa 3.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{2} e^{2 x} + \ln (| x |) + C$

Etapa 4

Resolva $y$ .

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Etapa 4.1

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{2 x}$ .

$\ln (| y |) = \frac{e^{2 x}}{2} + \ln (| x |) + C$

Etapa 4.2

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (| y |) - \ln (| x |) = \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Etapa 4.3

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{| x |}) = \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Etapa 4.4

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| x |})} = e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C}$

Etapa 4.5

Reescreva $\ln (\frac{| y |}{| x |}) = \frac{e^{2 x}}{2} + C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C} = \frac{| y |}{| x |}$

Etapa 4.6

Resolva $y$ .

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Etapa 4.6.1

Reescreva a equação como $\frac{| y |}{| x |} = e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C}$ .

$\frac{| y |}{| x |} = e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C}$

Etapa 4.6.2

Multiplique os dois lados por $| x |$ .

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C} | x |$

Etapa 4.6.3

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.6.3.1

Cancele o fator comum de $| x |$ .

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Etapa 4.6.3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C} | x |$

Etapa 4.6.3.1.2

Reescreva a expressão.

$| y | = e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C} | x |$

Etapa 4.6.4

Resolva $y$ .

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Etapa 4.6.4.1

Reordene os fatores em $e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C} | x |$ .

$| y | = | x | e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C}$

Etapa 4.6.4.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$y = \pm | x | e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C}$

Etapa 5

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 5.1

Reescreva $e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C}$ como $e^{\frac{e^{2 x}}{2}} e^{C}$ .

$y = \pm | x | (e^{\frac{e^{2 x}}{2}} e^{C})$

Etapa 5.2

Reordene $e^{\frac{e^{2 x}}{2}}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm | x | (e^{C} e^{\frac{e^{2 x}}{2}})$

Etapa 5.3

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = C | x | e^{\frac{e^{2 x}}{2}}$