Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = 6 x^{2} + 4 x$ , $y (2) = 10$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = (6 x^{2} + 4 x) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int 6 x^{2} + 4 x d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int 6 x^{2} + 4 x d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$y + C_{1} = \int 6 x^{2} d x + \int 4 x d x$

Etapa 2.3.2

Como $6$ é constante com relação a $x$ , mova $6$ para fora da integral.

$y + C_{1} = 6 \int x^{2} d x + \int 4 x d x$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int 4 x d x$

Etapa 2.3.4

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$y + C_{1} = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + 4 \int x d x$

Etapa 2.3.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Etapa 2.3.6

Simplifique.

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Etapa 2.3.6.1

Simplifique.

$y + C_{1} = 6 (\frac{1}{3}) x^{3} + 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.6.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.6.2.1

Combine $6$ e $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{6}{3} x^{3} + 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.6.2.2

Cancele o fator comum de $6$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.6.2.2.1

Fatore $3$ de $6$ .

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{3} + 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.6.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.6.2.2.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{3} + 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.6.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{3} + 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.6.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$y + C_{1} = \frac{2}{1} x^{3} + 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.6.2.2.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$y + C_{1} = 2 x^{3} + 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.6.2.3

Combine $4$ e $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = 2 x^{3} + \frac{4}{2} x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.6.2.4

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.6.2.4.1

Fatore $2$ de $4$ .

$y + C_{1} = 2 x^{3} + \frac{2 \cdot 2}{2} x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.6.2.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.6.2.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$y + C_{1} = 2 x^{3} + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.6.2.4.2.2

Cancele o fator comum.

$y + C_{1} = 2 x^{3} + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.6.2.4.2.3

Reescreva a expressão.

$y + C_{1} = 2 x^{3} + \frac{2}{1} x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.6.2.4.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$y + C_{1} = 2 x^{3} + 2 x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y = 2 x^{3} + 2 x^{2} + K$

Etapa 3

Use a condição inicial para encontrar o valor de $K$ , substituindo $2$ por $x$ e $10$ por $y$ em $y = 2 x^{3} + 2 x^{2} + K$ .

$10 = 2 \cdot 2^{3} + 2 \cdot 2^{2} + K$

Etapa 4

Resolva $K$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como $2 \cdot 2^{3} + 2 \cdot 2^{2} + K = 10$ .

$2 \cdot 2^{3} + 2 \cdot 2^{2} + K = 10$

Etapa 4.2

Simplifique $2 \cdot 2^{3} + 2 \cdot 2^{2} + K$ .

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Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1

Multiplique $2$ por $2^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1.1

Multiplique $2$ por $2^{3}$ .

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Etapa 4.2.1.1.1.1

Eleve $2$ à potência de $1$ .

$2^{1} \cdot 2^{3} + 2 \cdot 2^{2} + K = 10$

Etapa 4.2.1.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2^{1 + 3} + 2 \cdot 2^{2} + K = 10$

Etapa 4.2.1.1.2

Some $1$ e $3$ .

$2^{4} + 2 \cdot 2^{2} + K = 10$

Etapa 4.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$16 + 2 \cdot 2^{2} + K = 10$

Etapa 4.2.1.3

Multiplique $2$ por $2^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.3.1

Multiplique $2$ por $2^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.3.1.1

Eleve $2$ à potência de $1$ .

$16 + 2^{1} \cdot 2^{2} + K = 10$

Etapa 4.2.1.3.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$16 + 2^{1 + 2} + K = 10$

Etapa 4.2.1.3.2

Some $1$ e $2$ .

$16 + 2^{3} + K = 10$

Etapa 4.2.1.4

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$16 + 8 + K = 10$

Etapa 4.2.2

Some $16$ e $8$ .

$24 + K = 10$

Etapa 4.3

Mova todos os termos que não contêm $K$ para o lado direito da equação.

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Etapa 4.3.1

Subtraia $24$ dos dois lados da equação.

$K = 10 - 24$

Etapa 4.3.2

Subtraia $24$ de $10$ .

$K = - 14$

Etapa 5

Substitua $- 14$ por $K$ em $y = 2 x^{3} + 2 x^{2} + K$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Substitua $- 14$ por $K$ .

$y = 2 x^{3} + 2 x^{2} - 14$