Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{3} - 21 x}{5 + 4 x - x^{2}}$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = \frac{x^{3} - 21 x}{5 + 4 x - x^{2}} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int \frac{x^{3} - 21 x}{5 + 4 x - x^{2}} d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int \frac{x^{3} - 21 x}{5 + 4 x - x^{2}} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Reordene $5$ e $4 x$ .

$y + C_{1} = \int \frac{x^{3} - 21 x}{4 x + 5 - x^{2}} d x$

Etapa 2.3.2

Mova $5$ .

$y + C_{1} = \int \frac{x^{3} - 21 x}{4 x - x^{2} + 5} d x$

Etapa 2.3.3

Reordene $4 x$ e $- x^{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{x^{3} - 21 x}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

Etapa 2.3.4

Divida $x^{3} - 21 x$ por $- x^{2} + 4 x + 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$21 x$

$0$

Etapa 2.3.4.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $- x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$21 x$

$0$

Etapa 2.3.4.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$21 x$

$0$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x$

Etapa 2.3.4.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} - 4 x^{2} - 5 x$ .

$x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$21 x$

$0$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x$

Etapa 2.3.4.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$21 x$

$0$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x$

$4 x^{2}$

$16 x$

Etapa 2.3.4.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$21 x$

$0$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x$

$4 x^{2}$

$16 x$

$0$

Etapa 2.3.4.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $4 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $- x^{2}$ .

$x$

$4$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$21 x$

$0$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x$

$4 x^{2}$

$16 x$

$0$

Etapa 2.3.4.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x$

$4$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$21 x$

$0$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x$

$4 x^{2}$

$16 x$

$0$

$4 x^{2}$

$16 x$

$20$

Etapa 2.3.4.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $4 x^{2} - 16 x - 20$ .

$x$

$4$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$21 x$

$0$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x$

$4 x^{2}$

$16 x$

$0$

$4 x^{2}$

$16 x$

$20$

Etapa 2.3.4.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x$

$4$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$21 x$

$0$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x$

$4 x^{2}$

$16 x$

$0$

$4 x^{2}$

$16 x$

$20$

Etapa 2.3.4.11

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$y + C_{1} = \int - x - 4 + \frac{20}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

Etapa 2.3.5

Divida a integral única em várias integrais.

$y + C_{1} = \int - x d x + \int - 4 d x + \int \frac{20}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

Etapa 2.3.6

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$y + C_{1} = - \int x d x + \int - 4 d x + \int \frac{20}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

Etapa 2.3.7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - 4 d x + \int \frac{20}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

Etapa 2.3.8

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - 4 x + C_{3} + \int \frac{20}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

Etapa 2.3.9

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$y + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 4 x + C_{3} + \int \frac{20}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

Etapa 2.3.10

Como $20$ é constante com relação a $x$ , mova $20$ para fora da integral.

$y + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 4 x + C_{3} + 20 \int \frac{1}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

Etapa 2.3.11

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.11.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.11.1.1

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.11.1.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot 5 = - 5$ e cuja soma é $b = 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.11.1.1.1.1

Fatore $4$ de $4 x$ .

$\frac{1}{- x^{2} + 4 (x) + 5}$

Etapa 2.3.11.1.1.1.2

Reescreva $4$ como $- 1$ mais $5$

$\frac{1}{- x^{2} + (- 1 + 5) x + 5}$

Etapa 2.3.11.1.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{- x^{2} - 1 x + 5 x + 5}$

Etapa 2.3.11.1.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.11.1.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{1}{(- x^{2} - 1 x) + 5 x + 5}$

Etapa 2.3.11.1.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{1}{x (- x - 1) - 5 (- x - 1)}$

Etapa 2.3.11.1.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- x - 1$ .

$\frac{1}{(- x - 1) (x - 5)}$

Etapa 2.3.11.1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{- x - 1}$

Etapa 2.3.11.1.3

$\frac{A}{- x - 1} + \frac{B}{x - 5}$

Etapa 2.3.11.1.4

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $(- x - 1) (x - 5)$ .

$\frac{1 (- x - 1) (x - 5)}{(- x - 1) (x - 5)} = \frac{(A) (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Etapa 2.3.11.1.5

Cancele o fator comum de $- x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.11.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (- x - 1) (x - 5)}{(- x - 1) (x - 5)} = \frac{(A) (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Etapa 2.3.11.1.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 (x - 5)}{x - 5} = \frac{(A) (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Etapa 2.3.11.1.6

Cancele o fator comum de $x - 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.11.1.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (x - 5)}{x - 5} = \frac{(A) (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Etapa 2.3.11.1.6.2

Reescreva a expressão.

$1 = \frac{(A) (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Etapa 2.3.11.1.7

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.11.1.7.1

Cancele o fator comum de $- x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.11.1.7.1.1

Cancele o fator comum.

$1 = \frac{A (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Etapa 2.3.11.1.7.1.2

Divida $(A) (x - 5)$ por $1$ .

$1 = (A) (x - 5) + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Etapa 2.3.11.1.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A x + A \cdot - 5 + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Etapa 2.3.11.1.7.3

Mova $- 5$ para a esquerda de $A$ .

$1 = A x - 5 \cdot A + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Etapa 2.3.11.1.7.4

Cancele o fator comum de $x - 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.11.1.7.4.1

Cancele o fator comum.

$1 = A x - 5 A + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Etapa 2.3.11.1.7.4.2

Divida $(B) (- x - 1)$ por $1$ .

$1 = A x - 5 A + (B) (- x - 1)$

Etapa 2.3.11.1.7.5

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A x - 5 A + B (- x) + B \cdot - 1$

Etapa 2.3.11.1.7.6

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$1 = A x - 5 A - B x + B \cdot - 1$

Etapa 2.3.11.1.7.7

Mova $- 1$ para a esquerda de $B$ .

$1 = A x - 5 A - B x - 1 \cdot B$

Etapa 2.3.11.1.7.8

Reescreva $- 1 B$ como $- B$ .

$1 = A x - 5 A - B x - B$

Etapa 2.3.11.1.8

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.11.1.8.1

Mova $B$ .

$1 = A x - 5 A - x B - B$

Etapa 2.3.11.1.8.2

Mova $- 5 A$ .

$1 = A x - x B - 5 A - B$

Etapa 2.3.11.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.11.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = A - 1 B$

Etapa 2.3.11.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = - 5 A - 1 B$

Etapa 2.3.11.2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$0 = A - 1 B$

$1 = - 5 A - 1 B$

$0 = A - 1 B$

$1 = - 5 A - 1 B$

Etapa 2.3.11.3

Resolva o sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.11.3.1

Resolva $A$ em $0 = A - 1 B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.11.3.1.1

Reescreva a equação como $A - 1 B = 0$ .

$A - 1 B = 0$

$1 = - 5 A - 1 B$

Etapa 2.3.11.3.1.2

Reescreva $- 1 B$ como $- B$ .

$A - B = 0$

$1 = - 5 A - 1 B$

Etapa 2.3.11.3.1.3

Some $B$ aos dois lados da equação.

$A = B$

$1 = - 5 A - 1 B$

$A = B$

$1 = - 5 A - 1 B$

Etapa 2.3.11.3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $B$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.11.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $1 = - 5 A - 1 B$ por $B$ .

$1 = - 5 B - 1 B$

$A = B$

Etapa 2.3.11.3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.11.3.2.2.1

Simplifique $- 5 B - 1 B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.11.3.2.2.1.1

Reescreva $- 1 B$ como $- B$ .

$1 = - 5 B - B$

$A = B$

Etapa 2.3.11.3.2.2.1.2

Subtraia $B$ de $- 5 B$ .

$1 = - 6 B$

$A = B$

$1 = - 6 B$

$A = B$

$1 = - 6 B$

$A = B$

$1 = - 6 B$

$A = B$

Etapa 2.3.11.3.3

Resolva $B$ em $1 = - 6 B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.11.3.3.1

Reescreva a equação como $- 6 B = 1$ .

$- 6 B = 1$

$A = B$

Etapa 2.3.11.3.3.2

Divida cada termo em $- 6 B = 1$ por $- 6$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.11.3.3.2.1

Divida cada termo em $- 6 B = 1$ por $- 6$ .

$\frac{- 6 B}{- 6} = \frac{1}{- 6}$

$A = B$

Etapa 2.3.11.3.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.11.3.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.11.3.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 6 B}{- 6} = \frac{1}{- 6}$

$A = B$

Etapa 2.3.11.3.3.2.2.1.2

Divida $B$ por $1$ .

$B = \frac{1}{- 6}$

$A = B$

$B = \frac{1}{- 6}$

$A = B$

$B = \frac{1}{- 6}$

$A = B$

Etapa 2.3.11.3.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.11.3.3.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$B = - \frac{1}{6}$

$A = B$

$B = - \frac{1}{6}$

$A = B$

$B = - \frac{1}{6}$

$A = B$

$B = - \frac{1}{6}$

$A = B$

Etapa 2.3.11.3.4

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $- \frac{1}{6}$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.11.3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $A = B$ por $- \frac{1}{6}$ .

$A = - \frac{1}{6}$

$B = - \frac{1}{6}$

Etapa 2.3.11.3.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.11.3.4.2.1

Remova os parênteses.

$A = - \frac{1}{6}$

$B = - \frac{1}{6}$

$A = - \frac{1}{6}$

$B = - \frac{1}{6}$

$A = - \frac{1}{6}$

$B = - \frac{1}{6}$

Etapa 2.3.11.3.5

Liste todas as soluções.

$A = - \frac{1}{6}, B = - \frac{1}{6}$

Etapa 2.3.11.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{- x - 1} + \frac{B}{x - 5}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{- \frac{1}{6}}{- x - 1} + \frac{- \frac{1}{6}}{x - 5}$

Etapa 2.3.11.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.11.5.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{- x - 1} + \frac{- \frac{1}{6}}{x - 5}$

Etapa 2.3.11.5.2

Multiplique $\frac{1}{- x - 1}$ por $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{1}{(- x - 1) \cdot 6} + \frac{- \frac{1}{6}}{x - 5}$

Etapa 2.3.11.5.3

Mova $6$ para a esquerda de $- x - 1$ .

$- \frac{1}{6 \cdot (- x - 1)} + \frac{- \frac{1}{6}}{x - 5}$

Etapa 2.3.11.5.4

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$- \frac{1}{6 (- (x) - 1)} + \frac{- \frac{1}{6}}{x - 5}$

Etapa 2.3.11.5.5

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$- \frac{1}{6 (- (x) - 1 \cdot 1)} + \frac{- \frac{1}{6}}{x - 5}$

Etapa 2.3.11.5.6

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (1)$ .

$- \frac{1}{6 (- (x + 1))} + \frac{- \frac{1}{6}}{x - 5}$

Etapa 2.3.11.5.7

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.11.5.7.1

Reescreva $- (x + 1)$ como $- 1 (x + 1)$ .

$- \frac{1}{6 (- 1 (x + 1))} + \frac{- \frac{1}{6}}{x - 5}$

Etapa 2.3.11.5.7.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{6 (x + 1)} + \frac{- \frac{1}{6}}{x - 5}$

Etapa 2.3.11.5.7.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{1}{6 (x + 1)}) + \frac{- \frac{1}{6}}{x - 5}$

Etapa 2.3.11.5.7.4

Multiplique $\frac{1}{6 (x + 1)}$ por $1$ .

$\frac{1}{6 (x + 1)} + \frac{- \frac{1}{6}}{x - 5}$

Etapa 2.3.11.5.8

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{1}{6 (x + 1)} - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{x - 5}$

Etapa 2.3.11.5.9

Multiplique $\frac{1}{x - 5}$ por $\frac{1}{6}$ .

$\frac{1}{6 (x + 1)} - \frac{1}{(x - 5) \cdot 6}$

Etapa 2.3.11.5.10

Mova $6$ para a esquerda de $x - 5$ .

$y + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 4 x + C_{3} + 20 \int \frac{1}{6 (x + 1)} - \frac{1}{6 (x - 5)} d x$

Etapa 2.3.12

Divida a integral única em várias integrais.

$y + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 4 x + C_{3} + 20 (\int \frac{1}{6 (x + 1)} d x + \int - \frac{1}{6 (x - 5)} d x)$

Etapa 2.3.13

Como $\frac{1}{6}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{6}$ para fora da integral.

$y + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 4 x + C_{3} + 20 (\frac{1}{6} \int \frac{1}{x + 1} d x + \int - \frac{1}{6 (x - 5)} d x)$

Etapa 2.3.14

Deixe $u_{1} = x + 1$ . Depois, $d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.14.1

Deixe $u_{1} = x + 1$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.14.1.1

Diferencie $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 2.3.14.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3.14.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3.14.1.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.3.14.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.3.14.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$y + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 4 x + C_{3} + 20 (\frac{1}{6} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{1}{6 (x - 5)} d x)$

Etapa 2.3.15

A integral de $\frac{1}{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $\ln (| u_{1} |)$ .

$y + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 4 x + C_{3} + 20 (\frac{1}{6} (\ln (| u_{1} |) + C_{4}) + \int - \frac{1}{6 (x - 5)} d x)$

Etapa 2.3.16

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$y + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 4 x + C_{3} + 20 (\frac{1}{6} (\ln (| u_{1} |) + C_{4}) - \int \frac{1}{6 (x - 5)} d x)$

Etapa 2.3.17

Como $\frac{1}{6}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{6}$ para fora da integral.

$y + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 4 x + C_{3} + 20 (\frac{1}{6} (\ln (| u_{1} |) + C_{4}) - (\frac{1}{6} \int \frac{1}{x - 5} d x))$

Etapa 2.3.18

Deixe $u_{2} = x - 5$ . Depois, $d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 2.3.18.1

Deixe $u_{2} = x - 5$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 2.3.18.1.1

Diferencie $x - 5$ .

$\frac{d}{d x} [x - 5]$

Etapa 2.3.18.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 2.3.18.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 2.3.18.1.4

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.3.18.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.3.18.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$y + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 4 x + C_{3} + 20 (\frac{1}{6} (\ln (| u_{1} |) + C_{4}) - \frac{1}{6} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Etapa 2.3.19

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$y + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 4 x + C_{3} + 20 (\frac{1}{6} (\ln (| u_{1} |) + C_{4}) - \frac{1}{6} (\ln (| u_{2} |) + C_{5}))$

Etapa 2.3.20

Simplifique.

$y + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} - 4 x + 20 (\frac{1}{6} \ln (| u_{1} |) - \frac{1}{6} \ln (| u_{2} |)) + C_{6}$

Etapa 2.3.21

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 2.3.21.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x + 1$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} - 4 x + 20 (\frac{1}{6} \ln (| x + 1 |) - \frac{1}{6} \ln (| u_{2} |)) + C_{6}$

Etapa 2.3.21.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x - 5$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} - 4 x + 20 (\frac{1}{6} \ln (| x + 1 |) - \frac{1}{6} \ln (| x - 5 |)) + C_{6}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$y = - \frac{1}{2} x^{2} - 4 x + 20 (\frac{1}{6} \ln (| x + 1 |) - \frac{1}{6} \ln (| x - 5 |)) + C$