Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y^{4}}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $y^{4}$ .

$y^{4} \frac{d y}{d x} = y^{4} \frac{x}{y^{4}}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $y^{4}$ .

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$y^{4} \frac{d y}{d x} = y^{4} \frac{x}{y^{4}}$

Etapa 1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{4} \frac{d y}{d x} = x$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$y^{4} d y = x d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int y^{4} d y = \int x d x$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{4}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{5} y^{5}$ .

$\frac{1}{5} y^{5} + C_{1} = \int x d x$

Etapa 2.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{5} y^{5} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{1}{5} y^{5} = \frac{1}{2} x^{2} + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Multiplique os dois lados da equação por $5$ .

$5 (\frac{1}{5} y^{5}) = 5 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Etapa 3.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1.1

Simplifique $5 (\frac{1}{5} y^{5})$ .

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Etapa 3.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{5}$ e $y^{5}$ .

$5 \frac{y^{5}}{5} = 5 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Etapa 3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$5 \frac{y^{5}}{5} = 5 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Etapa 3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{5} = 5 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Simplifique $5 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$y^{5} = 5 (\frac{x^{2}}{2} + K)$

Etapa 3.2.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{5} = 5 \frac{x^{2}}{2} + 5 K$

Etapa 3.2.2.1.3

Combine $5$ e $\frac{x^{2}}{2}$ .

$y^{5} = \frac{5 x^{2}}{2} + 5 K$

Etapa 3.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \sqrt[5]{\frac{5 x^{2}}{2} + 5 K}$

Etapa 3.4

Simplifique $\sqrt[5]{\frac{5 x^{2}}{2} + 5 K}$ .

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Etapa 3.4.1

Fatore $5$ de $\frac{5 x^{2}}{2} + 5 K$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1.1

Fatore $5$ de $\frac{5 x^{2}}{2}$ .

$y = \sqrt[5]{5 \frac{x^{2}}{2} + 5 K}$

Etapa 3.4.1.2

Fatore $5$ de $5 K$ .

$y = \sqrt[5]{5 \frac{x^{2}}{2} + 5 K}$

Etapa 3.4.1.3

Fatore $5$ de $5 \frac{x^{2}}{2} + 5 K$ .

$y = \sqrt[5]{5 (\frac{x^{2}}{2} + K)}$

Etapa 3.4.2

Para escrever $K$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[5]{5 (\frac{x^{2}}{2} + K \cdot \frac{2}{2})}$

Etapa 3.4.3

Simplifique os termos.

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Etapa 3.4.3.1

Combine $K$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[5]{5 (\frac{x^{2}}{2} + \frac{K \cdot 2}{2})}$

Etapa 3.4.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \sqrt[5]{5 \frac{x^{2} + K \cdot 2}{2}}$

Etapa 3.4.4

Mova $2$ para a esquerda de $K$ .

$y = \sqrt[5]{5 \frac{x^{2} + 2 K}{2}}$

Etapa 3.4.5

Combine $5$ e $\frac{x^{2} + 2 K}{2}$ .

$y = \sqrt[5]{\frac{5 (x^{2} + 2 K)}{2}}$

Etapa 3.4.6

Reescreva $\sqrt[5]{\frac{5 (x^{2} + 2 K)}{2}}$ como $\frac{\sqrt[5]{5 (x^{2} + 2 K)}}{\sqrt[5]{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{5 (x^{2} + 2 K)}}{\sqrt[5]{2}}$

Etapa 3.4.7

Multiplique $\frac{\sqrt[5]{5 (x^{2} + 2 K)}}{\sqrt[5]{2}}$ por $\frac{{\sqrt[5]{2}}^{4}}{{\sqrt[5]{2}}^{4}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{5 (x^{2} + 2 K)}}{\sqrt[5]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[5]{2}}^{4}}{{\sqrt[5]{2}}^{4}}$

Etapa 3.4.8

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 3.4.8.1

Multiplique $\frac{\sqrt[5]{5 (x^{2} + 2 K)}}{\sqrt[5]{2}}$ por $\frac{{\sqrt[5]{2}}^{4}}{{\sqrt[5]{2}}^{4}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{5 (x^{2} + 2 K)} {\sqrt[5]{2}}^{4}}{\sqrt[5]{2} {\sqrt[5]{2}}^{4}}$

Etapa 3.4.8.2

Eleve $\sqrt[5]{2}$ à potência de $1$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{5 (x^{2} + 2 K)} {\sqrt[5]{2}}^{4}}{{\sqrt[5]{2}}^{1} {\sqrt[5]{2}}^{4}}$

Etapa 3.4.8.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \frac{\sqrt[5]{5 (x^{2} + 2 K)} {\sqrt[5]{2}}^{4}}{{\sqrt[5]{2}}^{1 + 4}}$

Etapa 3.4.8.4

Some $1$ e $4$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{5 (x^{2} + 2 K)} {\sqrt[5]{2}}^{4}}{{\sqrt[5]{2}}^{5}}$

Etapa 3.4.8.5

Reescreva ${\sqrt[5]{2}}^{5}$ como $2$ .

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Etapa 3.4.8.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[5]{2}$ como $2^{\frac{1}{5}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{5 (x^{2} + 2 K)} {\sqrt[5]{2}}^{4}}{{(2^{\frac{1}{5}})}^{5}}$

Etapa 3.4.8.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{5 (x^{2} + 2 K)} {\sqrt[5]{2}}^{4}}{2^{\frac{1}{5} \cdot 5}}$

Etapa 3.4.8.5.3

Combine $\frac{1}{5}$ e $5$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{5 (x^{2} + 2 K)} {\sqrt[5]{2}}^{4}}{2^{\frac{5}{5}}}$

Etapa 3.4.8.5.4

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 3.4.8.5.4.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{\sqrt[5]{5 (x^{2} + 2 K)} {\sqrt[5]{2}}^{4}}{2^{\frac{5}{5}}}$

Etapa 3.4.8.5.4.2

Reescreva a expressão.

$y = \frac{\sqrt[5]{5 (x^{2} + 2 K)} {\sqrt[5]{2}}^{4}}{2^{1}}$

Etapa 3.4.8.5.5

Avalie o expoente.

$y = \frac{\sqrt[5]{5 (x^{2} + 2 K)} {\sqrt[5]{2}}^{4}}{2}$

Etapa 3.4.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.4.9.1

Reescreva ${\sqrt[5]{2}}^{4}$ como $\sqrt[5]{2^{4}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{5 (x^{2} + 2 K)} \sqrt[5]{2^{4}}}{2}$

Etapa 3.4.9.2

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{5 (x^{2} + 2 K)} \sqrt[5]{16}}{2}$

Etapa 3.4.10

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.4.10.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$y = \frac{\sqrt[5]{5 (x^{2} + 2 K) \cdot 16}}{2}$

Etapa 3.4.10.2

Multiplique $16$ por $5$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{80 (x^{2} + 2 K)}}{2}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{\sqrt[5]{80 (x^{2} + K)}}{2}$