Cálculo Exemplos

$(2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}) d x + 4 x^{2} y d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = 2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}]$

Etapa 1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [2 x y^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [2 x y^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $2 x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 x y^{2}$ em relação a $y$ é $2 x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (2 y) + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $\frac{x}{y^{2}}$ em relação a $y$ é $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$

Etapa 1.4.2

Reescreva $\frac{1}{y^{2}}$ como ${(y^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x \frac{d}{d y} [{(y^{2})}^{- 1}]$

Etapa 1.4.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = y^{- 1}$ e $g (y) = y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Etapa 1.4.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Etapa 1.4.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- {(y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Etapa 1.4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y))$

Etapa 1.4.5

Multiplique os expoentes em ${(y^{2})}^{- 2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- y^{2 \cdot - 2} (2 y))$

Etapa 1.4.5.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- y^{- 4} (2 y))$

Etapa 1.4.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- 2 y^{- 4} y)$

Etapa 1.4.7

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- 2 (y^{1} y^{- 4}))$

Etapa 1.4.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- 2 y^{1 - 4})$

Etapa 1.4.9

Subtraia $4$ de $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- 2 y^{- 3})$

Etapa 1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- 2 \frac{1}{y^{3}})$

Etapa 1.5.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1

Combine $- 2$ e $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x \frac{- 2}{y^{3}}$

Etapa 1.5.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- \frac{2}{y^{3}})$

Etapa 1.5.2.3

Combine $x$ e $\frac{2}{y^{3}}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y - \frac{x \cdot 2}{y^{3}}$

Etapa 1.5.2.4

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = 4 x^{2} y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [4 x^{2} y]$

Etapa 2.2

Como $4 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{2} y$ em relação a $x$ é $4 y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 y (2 x)$

Etapa 2.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Multiplique $2$ por $4$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 8 y x$

Etapa 2.4.2

Reordene os fatores de $8 y x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 8 x y$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $8 x y$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$4 x y - \frac{2 x}{y^{3}} = 8 x y$

Etapa 3.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$4 x y - \frac{2 x}{y^{3}} = 8 x y$ não é uma identidade.

Etapa 4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $8 x y$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{8 x y - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Etapa 4.2

Substitua $4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{8 x y - (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})}{M}$

Etapa 4.3

Substitua $2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}$ por $M$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua $2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}$ por $M$ .

$\frac{8 x y - (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})}{2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}}$

Etapa 4.3.2

Multiplique o numerador e o denominador da fração por $y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Multiplique $\frac{8 x y - (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})}{2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}}$ por $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$\frac{y^{2}}{y^{2}} \cdot \frac{8 x y - (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})}{2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}}$

Etapa 4.3.2.2

Combine.

$\frac{y^{2} (8 x y - (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}})}$

Etapa 4.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{y^{2} (8 x y) + y^{2} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + y^{2} \frac{x}{y^{2}}}$

Etapa 4.3.4

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y^{2} (8 x y) + y^{2} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + y^{2} \frac{x}{y^{2}}}$

Etapa 4.3.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y^{2} (8 x y) + y^{2} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Etapa 4.3.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.5.1

Fatore $y^{3}$ de $y^{2} (8 x y) + y^{2} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.5.1.1

Fatore $y^{3}$ de $y^{2} (8 x y)$ .

$\frac{y^{3} (y^{- 1} (8 x y)) + y^{2} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Etapa 4.3.5.1.2

Fatore $y^{3}$ de $y^{2} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}))$ .

$\frac{y^{3} (y^{- 1} (8 x y)) + y^{3} (y^{- 1} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Etapa 4.3.5.1.3

Fatore $y^{3}$ de $y^{3} (y^{- 1} (8 x y)) + y^{3} (y^{- 1} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})))$ .

$\frac{y^{3} (y^{- 1} (8 x y) + y^{- 1} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Etapa 4.3.5.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{y^{3} (8 y^{- 1} (x y) + y^{- 1} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Etapa 4.3.5.3

Multiplique $y^{- 1}$ por $y$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.5.3.1

Mova $y$ .

$\frac{y^{3} (8 (y \cdot y^{- 1}) x + y^{- 1} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Etapa 4.3.5.3.2

Multiplique $y$ por $y^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.5.3.2.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\frac{y^{3} (8 (y^{1} y^{- 1}) x + y^{- 1} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Etapa 4.3.5.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{y^{3} (8 y^{1 - 1} x + y^{- 1} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Etapa 4.3.5.3.3

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{y^{3} (8 y^{0} x + y^{- 1} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Etapa 4.3.5.4

Simplifique $8 y^{0} x$ .

$\frac{y^{3} (8 x + y^{- 1} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Etapa 4.3.5.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{y^{3} (8 x - y^{- 1} (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Etapa 4.3.5.6

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{y^{3} (8 x - \frac{1}{y} (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Etapa 4.3.5.7

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{y^{3} (8 x - \frac{1}{y} (4 x y) - \frac{1}{y} (- \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Etapa 4.3.5.8

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.5.8.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{y}$ para o numerador.

$\frac{y^{3} (8 x + \frac{- 1}{y} (4 x y) - \frac{1}{y} (- \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Etapa 4.3.5.8.2

Fatore $y$ de $4 x y$ .

$\frac{y^{3} (8 x + \frac{- 1}{y} (y (4 x)) - \frac{1}{y} (- \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Etapa 4.3.5.8.3

Cancele o fator comum.

$\frac{y^{3} (8 x + \frac{- 1}{y} (y (4 x)) - \frac{1}{y} (- \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Etapa 4.3.5.8.4

Reescreva a expressão.

$\frac{y^{3} (8 x - (4 x) - \frac{1}{y} (- \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Etapa 4.3.5.9

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{y^{3} (8 x - 4 x - \frac{1}{y} (- \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Etapa 4.3.5.10

Multiplique $- \frac{1}{y} (- \frac{2 x}{y^{3}})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.5.10.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{y^{3} (8 x - 4 x + 1 \frac{1}{y} \frac{2 x}{y^{3}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Etapa 4.3.5.10.2

Multiplique $\frac{1}{y}$ por $1$ .

$\frac{y^{3} (8 x - 4 x + \frac{1}{y} \cdot \frac{2 x}{y^{3}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Etapa 4.3.5.10.3

Multiplique $\frac{1}{y}$ por $\frac{2 x}{y^{3}}$ .

$\frac{y^{3} (8 x - 4 x + \frac{2 x}{y \cdot y^{3}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Etapa 4.3.5.10.4

Multiplique $y$ por $y^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.5.10.4.1

Multiplique $y$ por $y^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.5.10.4.1.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\frac{y^{3} (8 x - 4 x + \frac{2 x}{y^{1} y^{3}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Etapa 4.3.5.10.4.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{y^{3} (8 x - 4 x + \frac{2 x}{y^{1 + 3}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Etapa 4.3.5.10.4.2

Some $1$ e $3$ .

$\frac{y^{3} (8 x - 4 x + \frac{2 x}{y^{4}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Etapa 4.3.5.11

Subtraia $4 x$ de $8 x$ .

$\frac{y^{3} (4 x + \frac{2 x}{y^{4}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Etapa 4.3.5.12

Fatore $2 x$ de $4 x + \frac{2 x}{y^{4}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.5.12.1

Fatore $2 x$ de $4 x$ .

$\frac{y^{3} (2 x (2) + \frac{2 x}{y^{4}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Etapa 4.3.5.12.2

Fatore $2 x$ de $\frac{2 x}{y^{4}}$ .

$\frac{y^{3} (2 x (2) + 2 x \frac{1}{y^{4}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Etapa 4.3.5.12.3

Fatore $2 x$ de $2 x (2) + 2 x \frac{1}{y^{4}}$ .

$\frac{y^{3} (2 x (2 + \frac{1}{y^{4}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

$\frac{y^{3} \cdot 2 x (2 + \frac{1}{y^{4}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Etapa 4.3.5.13

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{y^{4}}{y^{4}}$ .

$\frac{y^{3} \cdot 2 x (\frac{2 y^{4}}{y^{4}} + \frac{1}{y^{4}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Etapa 4.3.5.14

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{y^{3} \cdot 2 x \frac{2 y^{4} + 1}{y^{4}}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Etapa 4.3.5.15

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.5.15.1

Combine $y^{3}$ e $\frac{2 y^{4} + 1}{y^{4}}$ .

$\frac{2 x \frac{y^{3} (2 y^{4} + 1)}{y^{4}}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Etapa 4.3.5.15.2

Combine $2$ e $\frac{y^{3} (2 y^{4} + 1)}{y^{4}}$ .

$\frac{x \frac{2 (y^{3} (2 y^{4} + 1))}{y^{4}}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Etapa 4.3.5.15.3

Combine $x$ e $\frac{2 (y^{3} (2 y^{4} + 1))}{y^{4}}$ .

$\frac{\frac{x (2 (y^{3} (2 y^{4} + 1)))}{y^{4}}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Etapa 4.3.5.16

Remova os parênteses desnecessários.

$\frac{\frac{x \cdot 2 y^{3} (2 y^{4} + 1)}{y^{4}}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Etapa 4.3.5.17

Reduza a expressão $\frac{x \cdot 2 y^{3} (2 y^{4} + 1)}{y^{4}}$ cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.5.17.1

Fatore $y^{3}$ de $x \cdot 2 y^{3} (2 y^{4} + 1)$ .

$\frac{\frac{y^{3} (x \cdot 2 (2 y^{4} + 1))}{y^{4}}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Etapa 4.3.5.17.2

Fatore $y^{3}$ de $y^{4}$ .

$\frac{\frac{y^{3} (x \cdot 2 (2 y^{4} + 1))}{y^{3} y}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Etapa 4.3.5.17.3

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{y^{3} (x \cdot 2 (2 y^{4} + 1))}{y^{3} y}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Etapa 4.3.5.17.4

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{x \cdot 2 (2 y^{4} + 1)}{y}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Etapa 4.3.5.18

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Etapa 4.3.6

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.6.1

Fatore $x$ de $y^{2} (2 x y^{2}) + x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.6.1.1

Fatore $x$ de $y^{2} (2 x y^{2})$ .

$\frac{\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y}}{x (y^{2} (2 y^{2})) + x}$

Etapa 4.3.6.1.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y}}{x (y^{2} (2 y^{2})) + x^{1}}$

Etapa 4.3.6.1.3

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y}}{x (y^{2} (2 y^{2})) + x \cdot 1}$

Etapa 4.3.6.1.4

Fatore $x$ de $x (y^{2} (2 y^{2})) + x \cdot 1$ .

$\frac{\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y}}{x (y^{2} (2 y^{2}) + 1)}$

Etapa 4.3.6.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y}}{x (2 y^{2} y^{2} + 1)}$

Etapa 4.3.6.3

Multiplique $y^{2}$ por $y^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.6.3.1

Mova $y^{2}$ .

$\frac{\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y}}{x (2 (y^{2} y^{2}) + 1)}$

Etapa 4.3.6.3.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y}}{x (2 y^{2 + 2} + 1)}$

Etapa 4.3.6.3.3

Some $2$ e $2$ .

$\frac{\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y}}{x (2 y^{4} + 1)}$

Etapa 4.3.7

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y} \cdot \frac{1}{x (2 y^{4} + 1)}$

Etapa 4.3.8

Combine.

$\frac{2 x (2 y^{4} + 1) \cdot 1}{y (x (2 y^{4} + 1))}$

Etapa 4.3.9

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.9.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x (2 y^{4} + 1) \cdot 1}{y (x (2 y^{4} + 1))}$

Etapa 4.3.9.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(2 (2 y^{4} + 1)) \cdot 1}{y (2 y^{4} + 1)}$

Etapa 4.3.10

Cancele o fator comum de $2 y^{4} + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.10.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (2 y^{4} + 1) \cdot 1}{y (2 y^{4} + 1)}$

Etapa 4.3.10.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(2) \cdot 1}{y}$

Etapa 4.3.11

Substitua $2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}$ por $M$ .

$\frac{2}{y}$

Etapa 4.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{2}{y} d y}$

Etapa 5

Avalie a integral $e^{\int \frac{2}{y} d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Como $2$ é constante com relação a $y$ , mova $2$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{y} d y}$

Etapa 5.2

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{2 (\ln (| y |) + C)}$

Etapa 5.3

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{2 \ln (| y |)} + C$

Etapa 5.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.4.1

Simplifique $2 \ln (| y |)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{2})} + C$

Etapa 5.4.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = {| y |}^{2} + C$

Etapa 5.4.3

Remova o valor absoluto em ${| y |}^{2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$μ (x, y) = y^{2} + C$

Etapa 6

Multiplique ambos os lados de $(2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}) d x + 4 x^{2} y d y = 0$ pelo fator de integração $y^{2}$ .

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Etapa 6.1

Multiplique $2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}$ por $y^{2}$ .

$(2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}) y^{2} d x + 4 x^{2} y d y = 0$

Etapa 6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(2 x y^{2} y^{2} + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d x + 4 x^{2} y d y = 0$

Etapa 6.3

Multiplique $y^{2}$ por $y^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 6.3.1

Mova $y^{2}$ .

$(2 x (y^{2} y^{2}) + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d x + 4 x^{2} y d y = 0$

Etapa 6.3.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(2 x y^{2 + 2} + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d x + 4 x^{2} y d y = 0$

Etapa 6.3.3

Some $2$ e $2$ .

$(2 x y^{4} + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d x + 4 x^{2} y d y = 0$

Etapa 6.4

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

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Etapa 6.4.1

Cancele o fator comum.

$(2 x y^{4} + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d x + 4 x^{2} y d y = 0$

Etapa 6.4.2

Reescreva a expressão.

$(2 x y^{4} + x) d x + 4 x^{2} y d y = 0$

Etapa 6.5

Multiplique $4 x^{2} y$ por $y^{2}$ .

$(2 x y^{4} + x) d x + 4 x^{2} y \cdot y^{2} d y = 0$

Etapa 6.6

Multiplique $y$ por $y^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 6.6.1

Mova $y^{2}$ .

$(2 x y^{4} + x) d x + 4 x^{2} (y^{2} y) d y = 0$

Etapa 6.6.2

Multiplique $y^{2}$ por $y$ .

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Etapa 6.6.2.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$(2 x y^{4} + x) d x + 4 x^{2} (y^{2} y^{1}) d y = 0$

Etapa 6.6.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(2 x y^{4} + x) d x + 4 x^{2} y^{2 + 1} d y = 0$

Etapa 6.6.3

Some $2$ e $1$ .

$(2 x y^{4} + x) d x + 4 x^{2} y^{3} d y = 0$

Etapa 7

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 4 x^{2} y^{3} d y$

Etapa 8

Integre $N (x, y) = 4 x^{2} y^{3}$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 8.1

Como $4 x^{2}$ é constante com relação a $y$ , mova $4 x^{2}$ para fora da integral.

$f (x, y) = 4 x^{2} \int y^{3} d y$

Etapa 8.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{3}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$f (x, y) = 4 x^{2} (\frac{1}{4} y^{4} + C)$

Etapa 8.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 8.3.1

Reescreva $4 x^{2} (\frac{1}{4} y^{4} + C)$ como $4 x^{2} \frac{1}{4} y^{4} + C$ .

$f (x, y) = 4 x^{2} \frac{1}{4} y^{4} + C$

Etapa 8.3.2

Simplifique.

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Etapa 8.3.2.1

Combine $4$ e $\frac{1}{4}$ .

$f (x, y) = x^{2} \frac{4}{4} y^{4} + C$

Etapa 8.3.2.2

Combine $x^{2}$ e $\frac{4}{4}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} \cdot 4}{4} y^{4} + C$

Etapa 8.3.2.3

Mova $4$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{4 \cdot x^{2}}{4} y^{4} + C$

Etapa 8.3.2.4

Multiplique $4$ por $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{4 x^{2}}{4} y^{4} + C$

Etapa 8.3.2.5

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 8.3.2.5.1

Cancele o fator comum.

$f (x, y) = \frac{4 x^{2}}{4} y^{4} + C$

Etapa 8.3.2.5.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$f (x, y) = x^{2} y^{4} + C$

Etapa 9

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y^{4} + g (x)$

Etapa 10

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x y^{4} + x$

Etapa 11

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Etapa 11.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{4} + g (x)] = 2 x y^{4} + x$

Etapa 11.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} y^{4} + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y^{4} + x$

Etapa 11.3

Avalie $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{4}]$ .

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Etapa 11.3.1

Como $y^{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $x^{2} y^{4}$ em relação a $x$ é $y^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y^{4} + x$

Etapa 11.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$y^{4} (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y^{4} + x$

Etapa 11.3.3

Mova $2$ para a esquerda de $y^{4}$ .

$2 y^{4} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y^{4} + x$

Etapa 11.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$2 y^{4} x + \frac{d g}{d x} = 2 x y^{4} + x$

Etapa 11.5

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} + 2 y^{4} x = 2 x y^{4} + x$

Etapa 12

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 12.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d x}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 12.1.1

Subtraia $2 y^{4} x$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} = 2 x y^{4} + x - 2 y^{4} x$

Etapa 12.1.2

Combine os termos opostos em $2 x y^{4} + x - 2 y^{4} x$ .

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Etapa 12.1.2.1

Reorganize os fatores nos termos $2 x y^{4}$ e $- 2 y^{4} x$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 y^{4} x + x - 2 y^{4} x$

Etapa 12.1.2.2

Subtraia $2 y^{4} x$ de $2 y^{4} x$ .

$\frac{d g}{d x} = x + 0$

Etapa 12.1.2.3

Some $x$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x$

Etapa 13

Encontre a antiderivada de $x$ para encontrar $g (x)$ .

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Etapa 13.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x d x$

Etapa 13.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x d x$

Etapa 13.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 14

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = x^{2} y^{4} + g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y^{4} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 15

Simplifique $f (x, y) = x^{2} y^{4} + \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

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Etapa 15.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x, y) = x^{2} y^{4} + \frac{x^{2}}{2} + C$

Etapa 15.2

Reordene os fatores de $x^{2} y^{4}$ .

$f (x, y) = y^{4} x^{2} + \frac{x^{2}}{2} + C$

Etapa 15.3

Para escrever $y^{4} x^{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = y^{4} x^{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{2}}{2} + C$

Etapa 15.4

Combine $y^{4} x^{2}$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{4} x^{2} \cdot 2}{2} + \frac{x^{2}}{2} + C$

Etapa 15.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (x, y) = \frac{y^{4} x^{2} \cdot 2 + x^{2}}{2} + C$

Etapa 15.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 15.6.1

Fatore $x^{2}$ de $y^{4} x^{2} \cdot 2 + x^{2}$ .

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Etapa 15.6.1.1

Fatore $x^{2}$ de $y^{4} x^{2} \cdot 2$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y^{4} \cdot 2) + x^{2}}{2} + C$

Etapa 15.6.1.2

Multiplique por $1$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y^{4} \cdot 2) + x^{2} \cdot 1}{2} + C$

Etapa 15.6.1.3

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} (y^{4} \cdot 2) + x^{2} \cdot 1$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y^{4} \cdot 2 + 1)}{2} + C$

Etapa 15.6.2

Mova $2$ para a esquerda de $y^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y^{4} + 1)}{2} + C$