Cálculo Exemplos

$x \frac{d y}{d x} = y^{2} - 1$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Divida cada termo em $x \frac{d y}{d x} = y^{2} - 1$ por $x$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Divida cada termo em $x \frac{d y}{d x} = y^{2} - 1$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y^{2}}{x} + \frac{- 1}{x}$

Etapa 1.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y^{2}}{x} + \frac{- 1}{x}$

Etapa 1.1.2.1.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x} + \frac{- 1}{x}$

Etapa 1.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x} - \frac{1}{x}$

Etapa 1.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} - 1}{x}$

Etapa 1.2.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} - 1^{2}}{x}$

Etapa 1.2.2.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = y$ e $b = 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(y + 1) (y - 1)}{x}$

Etapa 1.3

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{(y + 1) (y - 1)}$ .

$\frac{1}{(y + 1) (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{(y + 1) (y - 1)} \cdot \frac{(y + 1) (y - 1)}{x}$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $(y + 1) (y - 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{(y + 1) (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{(y + 1) (y - 1)} \cdot \frac{(y + 1) (y - 1)}{x}$

Etapa 1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{(y + 1) (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Etapa 1.5

Reescreva a equação.

$\frac{1}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{1}{x} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{(y + 1) (y - 1)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.1

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{y + 1}$

Etapa 2.2.1.1.2

$\frac{A}{y + 1} + \frac{B}{y - 1}$

Etapa 2.2.1.1.3

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $(y + 1) (y - 1)$ .

$\frac{1 (y + 1) (y - 1)}{(y + 1) (y - 1)} = \frac{(A) (y + 1) (y - 1)}{y + 1} + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

Etapa 2.2.1.1.4

Cancele o fator comum de $y + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (y + 1) (y - 1)}{(y + 1) (y - 1)} = \frac{(A) (y + 1) (y - 1)}{y + 1} + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

Etapa 2.2.1.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 (y - 1)}{y - 1} = \frac{(A) (y + 1) (y - 1)}{y + 1} + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

Etapa 2.2.1.1.5

Cancele o fator comum de $y - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (y - 1)}{y - 1} = \frac{(A) (y + 1) (y - 1)}{y + 1} + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

Etapa 2.2.1.1.5.2

Reescreva a expressão.

$1 = \frac{(A) (y + 1) (y - 1)}{y + 1} + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

Etapa 2.2.1.1.6

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.6.1

Cancele o fator comum de $y + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.6.1.1

Cancele o fator comum.

$1 = \frac{A (y + 1) (y - 1)}{y + 1} + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

Etapa 2.2.1.1.6.1.2

Divida $(A) (y - 1)$ por $1$ .

$1 = (A) (y - 1) + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

Etapa 2.2.1.1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A y + A \cdot - 1 + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

Etapa 2.2.1.1.6.3

Mova $- 1$ para a esquerda de $A$ .

$1 = A y - 1 \cdot A + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

Etapa 2.2.1.1.6.4

Reescreva $- 1 A$ como $- A$ .

$1 = A y - A + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

Etapa 2.2.1.1.6.5

Cancele o fator comum de $y - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.6.5.1

Cancele o fator comum.

$1 = A y - A + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

Etapa 2.2.1.1.6.5.2

Divida $(B) (y + 1)$ por $1$ .

$1 = A y - A + (B) (y + 1)$

Etapa 2.2.1.1.6.6

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A y - A + B y + B \cdot 1$

Etapa 2.2.1.1.6.7

Multiplique $B$ por $1$ .

$1 = A y - A + B y + B$

Etapa 2.2.1.1.7

Mova $- A$ .

$1 = A y + B y - A + B$

Etapa 2.2.1.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $y$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = A + B$

Etapa 2.2.1.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $y$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = - 1 A + B$

Etapa 2.2.1.2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

Etapa 2.2.1.3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 2.2.1.3.1

Resolva $A$ em $0 = A + B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.3.1.1

Reescreva a equação como $A + B = 0$ .

$A + B = 0$

$1 = - 1 A + B$

Etapa 2.2.1.3.1.2

Subtraia $B$ dos dois lados da equação.

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

Etapa 2.2.1.3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $- B$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $1 = - 1 A + B$ por $- B$ .

$1 = - 1 (- B) + B$

$A = - B$

Etapa 2.2.1.3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.3.2.2.1

Simplifique $- 1 (- B) + B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.3.2.2.1.1

Multiplique $- 1 (- B)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.3.2.2.1.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 = 1 B + B$

$A = - B$

Etapa 2.2.1.3.2.2.1.1.2

Multiplique $B$ por $1$ .

$1 = B + B$

$A = - B$

$1 = B + B$

$A = - B$

Etapa 2.2.1.3.2.2.1.2

Some $B$ e $B$ .

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

Etapa 2.2.1.3.3

Resolva $B$ em $1 = 2 B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.3.3.1

Reescreva a equação como $2 B = 1$ .

$2 B = 1$

$A = - B$

Etapa 2.2.1.3.3.2

Divida cada termo em $2 B = 1$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.3.3.2.1

Divida cada termo em $2 B = 1$ por $2$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Etapa 2.2.1.3.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.3.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.3.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Etapa 2.2.1.3.3.2.2.1.2

Divida $B$ por $1$ .

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Etapa 2.2.1.3.4

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $\frac{1}{2}$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $A = - B$ por $\frac{1}{2}$ .

$A = - (\frac{1}{2})$

$B = \frac{1}{2}$

Etapa 2.2.1.3.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.3.4.2.1

Multiplique $- 1$ por $\frac{1}{2}$ .

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Etapa 2.2.1.3.5

Liste todas as soluções.

$A = - \frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}$

Etapa 2.2.1.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{y + 1} + \frac{B}{y - 1}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{- \frac{1}{2}}{y + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{y - 1}$

Etapa 2.2.1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.5.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{y - 1}$

Etapa 2.2.1.5.2

Multiplique $\frac{1}{y + 1}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{(y + 1) \cdot 2} + \frac{\frac{1}{2}}{y - 1}$

Etapa 2.2.1.5.3

Mova $2$ para a esquerda de $y + 1$ .

$- \frac{1}{2 (y + 1)} + \frac{\frac{1}{2}}{y - 1}$

Etapa 2.2.1.5.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- \frac{1}{2 (y + 1)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y - 1}$

Etapa 2.2.1.5.5

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{y - 1}$ .

$\int - \frac{1}{2 (y + 1)} + \frac{1}{2 (y - 1)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int - \frac{1}{2 (y + 1)} d y + \int \frac{1}{2 (y - 1)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.3

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{1}{2 (y + 1)} d y + \int \frac{1}{2 (y - 1)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $y$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{y + 1} d y) + \int \frac{1}{2 (y - 1)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.5

Deixe $u_{1} = y + 1$ . Depois, $d u_{1} = d y$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 2.2.5.1

Deixe $u_{1} = y + 1$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.1.1

Diferencie $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Etapa 2.2.5.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y + 1$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 2.2.5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 2.2.5.1.4

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.2.5.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.2.5.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$- \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{2 (y - 1)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.6

A integral de $\frac{1}{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $\ln (| u_{1} |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) + \int \frac{1}{2 (y - 1)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.7

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $y$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{y - 1} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.8

Deixe $u_{2} = y - 1$ . Depois, $d u_{2} = d y$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.8.1

Deixe $u_{2} = y - 1$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.8.1.1

Diferencie $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

Etapa 2.2.8.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y - 1$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Etapa 2.2.8.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Etapa 2.2.8.1.4

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 1$ em relação a $y$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.2.8.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.2.8.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.9

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) + \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.10

Simplifique.

$- \frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.11

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.11.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $y + 1$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| y + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.11.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $y - 1$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| y + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| y - 1 |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.3

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| y + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| y - 1 |) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| y + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| y - 1 |) = \ln (| x |) + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.1

Combine $\ln (| y + 1 |)$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\ln (| y + 1 |)}{2} + \frac{1}{2} \ln (| y - 1 |) = \ln (| x |) + C$

Etapa 3.1.1.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $\ln (| y - 1 |)$ .

$- \frac{\ln (| y + 1 |)}{2} + \frac{\ln (| y - 1 |)}{2} = \ln (| x |) + C$

Etapa 3.2

Multiplique cada termo em $- \frac{\ln (| y + 1 |)}{2} + \frac{\ln (| y - 1 |)}{2} = \ln (| x |) + C$ por $2$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Multiplique cada termo em $- \frac{\ln (| y + 1 |)}{2} + \frac{\ln (| y - 1 |)}{2} = \ln (| x |) + C$ por $2$ .

$- \frac{\ln (| y + 1 |)}{2} \cdot 2 + \frac{\ln (| y - 1 |)}{2} \cdot 2 = \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\ln (| y + 1 |)}{2}$ para o numerador.

$\frac{- \ln (| y + 1 |)}{2} \cdot 2 + \frac{\ln (| y - 1 |)}{2} \cdot 2 = \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Etapa 3.2.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- \ln (| y + 1 |)}{2} \cdot 2 + \frac{\ln (| y - 1 |)}{2} \cdot 2 = \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Etapa 3.2.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$- \ln (| y + 1 |) + \frac{\ln (| y - 1 |)}{2} \cdot 2 = \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Etapa 3.2.2.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$- \ln (| y + 1 |) + \frac{\ln (| y - 1 |)}{2} \cdot 2 = \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Etapa 3.2.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$- \ln (| y + 1 |) + \ln (| y - 1 |) = \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Etapa 3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1.1

Mova $2$ para a esquerda de $\ln (| x |)$ .

$- \ln (| y + 1 |) + \ln (| y - 1 |) = 2 \cdot \ln (| x |) + C \cdot 2$

Etapa 3.2.3.1.2

Mova $2$ para a esquerda de $C$ .

$- \ln (| y + 1 |) + \ln (| y - 1 |) = 2 \ln (| x |) + 2 C$

Etapa 3.3

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$- \ln (| y + 1 |) + \ln (| y - 1 |) - 2 \ln (| x |) = 2 C$

Etapa 3.4

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Simplifique $- \ln (| y + 1 |) + \ln (| y - 1 |) - 2 \ln (| x |)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1.1.1

Simplifique $- 2 \ln (| x |)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$- \ln (| y + 1 |) + \ln (| y - 1 |) - \ln ({| x |}^{2}) = 2 C$

Etapa 3.4.1.1.2

Remova o valor absoluto em ${| x |}^{2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$- \ln (| y + 1 |) + \ln (| y - 1 |) - \ln (x^{2}) = 2 C$

Etapa 3.4.1.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \ln (| y + 1 |) + \ln (\frac{| y - 1 |}{x^{2}}) = 2 C$

Etapa 3.5

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| y - 1 |}{x^{2}})} = e^{2 C + \ln (| y + 1 |)}$

Etapa 3.6

Reescreva $\ln (\frac{| y - 1 |}{x^{2}}) = 2 C + \ln (| y + 1 |)$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{2 C + \ln (| y + 1 |)} = \frac{| y - 1 |}{x^{2}}$

Etapa 3.7

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{2 C + \ln (| y + 1 |)}) = \ln (\frac{| y - 1 |}{x^{2}})$

Etapa 3.7.2

Expanda o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.2.1

Expanda $\ln (e^{2 C + \ln (| y + 1 |)})$ movendo $2 C + \ln (| y + 1 |)$ para fora do logaritmo.

$(2 C + \ln (| y + 1 |)) \ln (e) = \ln (\frac{| y - 1 |}{x^{2}})$

Etapa 3.7.2.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$(2 C + \ln (| y + 1 |)) \cdot 1 = \ln (\frac{| y - 1 |}{x^{2}})$

Etapa 3.7.2.3

Multiplique $2 C + \ln (| y + 1 |)$ por $1$ .

$2 C + \ln (| y + 1 |) = \ln (\frac{| y - 1 |}{x^{2}})$

Etapa 3.7.3

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (| y + 1 |) - \ln (\frac{| y - 1 |}{x^{2}}) = - 2 C$

Etapa 3.7.4

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y + 1 |}{\frac{| y - 1 |}{x^{2}}}) = - 2 C$

Etapa 3.7.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\ln (| y + 1 | (\frac{x^{2}}{| y - 1 |})) = - 2 C$

Etapa 3.7.6

Combine $| y + 1 |$ e $\frac{x^{2}}{| y - 1 |}$ .

$\ln (\frac{| y + 1 | x^{2}}{| y - 1 |}) = - 2 C$

Etapa 3.7.7

Reordene os fatores em $\ln (\frac{| y + 1 | x^{2}}{| y - 1 |})$ .

$\ln (\frac{x^{2} | y + 1 |}{| y - 1 |}) = - 2 C$

Etapa 3.7.8

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (\frac{x^{2} | y + 1 |}{| y - 1 |})} = e^{- 2 C}$

Etapa 3.7.9

Reescreva $\ln (\frac{x^{2} | y + 1 |}{| y - 1 |}) = - 2 C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- 2 C} = \frac{x^{2} | y + 1 |}{| y - 1 |}$

Etapa 3.7.10

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.10.1

Reescreva a equação como $\frac{x^{2} | y + 1 |}{| y - 1 |} = e^{- 2 C}$ .

$\frac{x^{2} | y + 1 |}{| y - 1 |} = e^{- 2 C}$

Etapa 3.7.10.2

Multiplique os dois lados por $| y - 1 |$ .

$\frac{x^{2} | y + 1 |}{| y - 1 |} | y - 1 | = e^{- 2 C} | y - 1 |$

Etapa 3.7.10.3

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.10.3.1

Cancele o fator comum de $| y - 1 |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.10.3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{2} | y + 1 |}{| y - 1 |} | y - 1 | = e^{- 2 C} | y - 1 |$

Etapa 3.7.10.3.1.2

Reescreva a expressão.

$x^{2} | y + 1 | = e^{- 2 C} | y - 1 |$

Etapa 3.7.10.4

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.10.4.1

Reescreva a equação como $e^{- 2 C} | y - 1 | = x^{2} | y + 1 |$ .

$e^{- 2 C} | y - 1 | = x^{2} | y + 1 |$

Etapa 3.7.10.4.2

Divida cada termo em $e^{- 2 C} | y - 1 | = x^{2} | y + 1 |$ por $e^{- 2 C}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.10.4.2.1

Divida cada termo em $e^{- 2 C} | y - 1 | = x^{2} | y + 1 |$ por $e^{- 2 C}$ .

$\frac{e^{- 2 C} | y - 1 |}{e^{- 2 C}} = \frac{x^{2} | y + 1 |}{e^{- 2 C}}$

Etapa 3.7.10.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.10.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $e^{- 2 C}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.10.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{- 2 C} | y - 1 |}{e^{- 2 C}} = \frac{x^{2} | y + 1 |}{e^{- 2 C}}$

Etapa 3.7.10.4.2.2.1.2

Divida $| y - 1 |$ por $1$ .

$| y - 1 | = \frac{x^{2} | y + 1 |}{e^{- 2 C}}$

Etapa 3.7.10.4.3

Reescreva a equação de valor absoluto como quatro equações sem barras de valor absoluto.

$y - 1 = \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}}$

$y - 1 = - \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}}$

$- (y - 1) = \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}}$

$- (y - 1) = - \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}}$

Etapa 3.7.10.4.4

Depois de simplificar, há apenas duas equações únicas para resolver.

$y - 1 = \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}}$

$y - 1 = - \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}}$

Etapa 3.7.10.4.5

Resolva $y - 1 = \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}}$ para $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.10.4.5.1

Multiplique os dois lados por $e^{- 2 C}$ .

$(y - 1) e^{- 2 C} = \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}} e^{- 2 C}$

Etapa 3.7.10.4.5.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.10.4.5.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.10.4.5.2.1.1

Simplifique $(y - 1) e^{- 2 C}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.10.4.5.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y e^{- 2 C} - 1 e^{- 2 C} = \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}} e^{- 2 C}$

Etapa 3.7.10.4.5.2.1.1.2

Reescreva $- 1 e^{- 2 C}$ como $- e^{- 2 C}$ .

$y e^{- 2 C} - e^{- 2 C} = \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}} e^{- 2 C}$

Etapa 3.7.10.4.5.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.10.4.5.2.2.1

Simplifique $\frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}} e^{- 2 C}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.10.4.5.2.2.1.1

Cancele o fator comum de $e^{- 2 C}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.10.4.5.2.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$y e^{- 2 C} - e^{- 2 C} = \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}} e^{- 2 C}$

Etapa 3.7.10.4.5.2.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y e^{- 2 C} - e^{- 2 C} = x^{2} (y + 1)$

Etapa 3.7.10.4.5.2.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y e^{- 2 C} - e^{- 2 C} = x^{2} y + x^{2} \cdot 1$

Etapa 3.7.10.4.5.2.2.1.3

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$y e^{- 2 C} - e^{- 2 C} = x^{2} y + x^{2}$

Etapa 3.7.10.4.5.3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.10.4.5.3.1

Subtraia $x^{2} y$ dos dois lados da equação.

$y e^{- 2 C} - e^{- 2 C} - x^{2} y = x^{2}$

Etapa 3.7.10.4.5.3.2

Some $e^{- 2 C}$ aos dois lados da equação.

$y e^{- 2 C} - x^{2} y = x^{2} + e^{- 2 C}$

Etapa 3.7.10.4.5.3.3

Fatore $y$ de $y e^{- 2 C} - x^{2} y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.10.4.5.3.3.1

Fatore $y$ de $y e^{- 2 C}$ .

$y e^{- 2 C} - x^{2} y = x^{2} + e^{- 2 C}$

Etapa 3.7.10.4.5.3.3.2

Fatore $y$ de $- x^{2} y$ .

$y e^{- 2 C} + y (- x^{2}) = x^{2} + e^{- 2 C}$

Etapa 3.7.10.4.5.3.3.3

Fatore $y$ de $y e^{- 2 C} + y (- x^{2})$ .

$y (e^{- 2 C} - x^{2}) = x^{2} + e^{- 2 C}$

Etapa 3.7.10.4.5.3.4

Reescreva $e^{- 2 C}$ como ${(e^{- C})}^{2}$ .

$y ({(e^{- C})}^{2} - x^{2}) = x^{2} + e^{- 2 C}$

Etapa 3.7.10.4.5.3.5

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.10.4.5.3.5.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = e^{- C}$ e $b = x$ .

$y ((e^{- C} + x) (e^{- C} - x)) = x^{2} + e^{- 2 C}$

Etapa 3.7.10.4.5.3.5.2

Remova os parênteses desnecessários.

$y (e^{- C} + x) (e^{- C} - x) = x^{2} + e^{- 2 C}$

Etapa 3.7.10.4.5.3.6

Divida cada termo em $y (e^{- C} + x) (e^{- C} - x) = x^{2} + e^{- 2 C}$ por $(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.10.4.5.3.6.1

Divida cada termo em $y (e^{- C} + x) (e^{- C} - x) = x^{2} + e^{- 2 C}$ por $(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)$ .

$\frac{y (e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)} = \frac{x^{2}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)} + \frac{e^{- 2 C}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}$

Etapa 3.7.10.4.5.3.6.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.10.4.5.3.6.2.1

Cancele o fator comum de $e^{- C} + x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.10.4.5.3.6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y (e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)} = \frac{x^{2}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)} + \frac{e^{- 2 C}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}$

Etapa 3.7.10.4.5.3.6.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y (e^{- C} - x)}{e^{- C} - x} = \frac{x^{2}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)} + \frac{e^{- 2 C}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}$

Etapa 3.7.10.4.5.3.6.2.2

Cancele o fator comum de $e^{- C} - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.10.4.5.3.6.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y (e^{- C} - x)}{e^{- C} - x} = \frac{x^{2}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)} + \frac{e^{- 2 C}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}$

Etapa 3.7.10.4.5.3.6.2.2.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)} + \frac{e^{- 2 C}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}$

Etapa 3.7.10.4.6

Resolva $y - 1 = - \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}}$ para $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.10.4.6.1

Multiplique os dois lados por $e^{- 2 C}$ .

$(y - 1) e^{- 2 C} = - \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}} e^{- 2 C}$

Etapa 3.7.10.4.6.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.10.4.6.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.10.4.6.2.1.1

Simplifique $(y - 1) e^{- 2 C}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.10.4.6.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y e^{- 2 C} - 1 e^{- 2 C} = - \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}} e^{- 2 C}$

Etapa 3.7.10.4.6.2.1.1.2

Reescreva $- 1 e^{- 2 C}$ como $- e^{- 2 C}$ .

$y e^{- 2 C} - e^{- 2 C} = - \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}} e^{- 2 C}$

Etapa 3.7.10.4.6.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.10.4.6.2.2.1

Simplifique $- \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}} e^{- 2 C}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.10.4.6.2.2.1.1

Cancele o fator comum de $e^{- 2 C}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.10.4.6.2.2.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}}$ para o numerador.

$y e^{- 2 C} - e^{- 2 C} = \frac{- x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}} e^{- 2 C}$

Etapa 3.7.10.4.6.2.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

$y e^{- 2 C} - e^{- 2 C} = \frac{- x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}} e^{- 2 C}$

Etapa 3.7.10.4.6.2.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$y e^{- 2 C} - e^{- 2 C} = - x^{2} (y + 1)$

Etapa 3.7.10.4.6.2.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y e^{- 2 C} - e^{- 2 C} = - x^{2} y - x^{2} \cdot 1$

Etapa 3.7.10.4.6.2.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$y e^{- 2 C} - e^{- 2 C} = - x^{2} y - x^{2}$

Etapa 3.7.10.4.6.3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.10.4.6.3.1

Some $x^{2} y$ aos dois lados da equação.

$y e^{- 2 C} - e^{- 2 C} + x^{2} y = - x^{2}$

Etapa 3.7.10.4.6.3.2

Some $e^{- 2 C}$ aos dois lados da equação.

$y e^{- 2 C} + x^{2} y = - x^{2} + e^{- 2 C}$

Etapa 3.7.10.4.6.3.3

Fatore $y$ de $y e^{- 2 C} + x^{2} y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.10.4.6.3.3.1

Fatore $y$ de $y e^{- 2 C}$ .

$y e^{- 2 C} + x^{2} y = - x^{2} + e^{- 2 C}$

Etapa 3.7.10.4.6.3.3.2

Fatore $y$ de $x^{2} y$ .

$y e^{- 2 C} + y x^{2} = - x^{2} + e^{- 2 C}$

Etapa 3.7.10.4.6.3.3.3

Fatore $y$ de $y e^{- 2 C} + y x^{2}$ .

$y (e^{- 2 C} + x^{2}) = - x^{2} + e^{- 2 C}$

Etapa 3.7.10.4.6.3.4

Divida cada termo em $y (e^{- 2 C} + x^{2}) = - x^{2} + e^{- 2 C}$ por $e^{- 2 C} + x^{2}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.10.4.6.3.4.1

Divida cada termo em $y (e^{- 2 C} + x^{2}) = - x^{2} + e^{- 2 C}$ por $e^{- 2 C} + x^{2}$ .

$\frac{y (e^{- 2 C} + x^{2})}{e^{- 2 C} + x^{2}} = \frac{- x^{2}}{e^{- 2 C} + x^{2}} + \frac{e^{- 2 C}}{e^{- 2 C} + x^{2}}$

Etapa 3.7.10.4.6.3.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.10.4.6.3.4.2.1

Cancele o fator comum de $e^{- 2 C} + x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.10.4.6.3.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y (e^{- 2 C} + x^{2})}{e^{- 2 C} + x^{2}} = \frac{- x^{2}}{e^{- 2 C} + x^{2}} + \frac{e^{- 2 C}}{e^{- 2 C} + x^{2}}$

Etapa 3.7.10.4.6.3.4.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{- x^{2}}{e^{- 2 C} + x^{2}} + \frac{e^{- 2 C}}{e^{- 2 C} + x^{2}}$

Etapa 3.7.10.4.6.3.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.10.4.6.3.4.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{- x^{2} + e^{- 2 C}}{e^{- 2 C} + x^{2}}$

Etapa 3.7.10.4.6.3.4.3.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.10.4.6.3.4.3.2.1

Reescreva $e^{- 2 C}$ como ${(e^{- C})}^{2}$ .

$y = \frac{- x^{2} + {(e^{- C})}^{2}}{e^{- 2 C} + x^{2}}$

Etapa 3.7.10.4.6.3.4.3.2.2

Reordene $- x^{2}$ e ${(e^{- C})}^{2}$ .

$y = \frac{{(e^{- C})}^{2} - x^{2}}{e^{- 2 C} + x^{2}}$

Etapa 3.7.10.4.6.3.4.3.2.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = e^{- C}$ e $b = x$ .

$y = \frac{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}{e^{- 2 C} + x^{2}}$

Etapa 3.7.10.4.7

Liste todas as soluções.

$y = \frac{x^{2}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)} + \frac{e^{- 2 C}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}$

$y = \frac{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}{e^{- 2 C} + x^{2}}$

$y = \frac{x^{2}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)} + \frac{e^{- 2 C}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}$

$y = \frac{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}{e^{- 2 C} + x^{2}}$

$y = \frac{x^{2}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)} + \frac{e^{- 2 C}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}$

$y = \frac{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}{e^{- 2 C} + x^{2}}$

$y = \frac{x^{2}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)} + \frac{e^{- 2 C}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}$

$y = \frac{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}{e^{- 2 C} + x^{2}}$

$y = \frac{x^{2}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)} + \frac{e^{- 2 C}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}$

$y = \frac{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}{e^{- 2 C} + x^{2}}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{x^{2}}{(C + x) (C - x)} + \frac{C}{(C + x) (C - x)}$

$y = \frac{(C + x) (C - x)}{C + x^{2}}$