Cálculo Exemplos

$x y y' = 1 - x^{2}$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial.

$x y \frac{d y}{d x} = 1 - x^{2}$

Etapa 2

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Divida cada termo em $x y \frac{d y}{d x} = 1 - x^{2}$ por $x y$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Divida cada termo em $x y \frac{d y}{d x} = 1 - x^{2}$ por $x y$ .

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{1}{x y} + \frac{- x^{2}}{x y}$

Etapa 2.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{1}{x y} + \frac{- x^{2}}{x y}$

Etapa 2.1.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{1}{x y} + \frac{- x^{2}}{x y}$

Etapa 2.1.2.2

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{1}{x y} + \frac{- x^{2}}{x y}$

Etapa 2.1.2.2.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} + \frac{- x^{2}}{x y}$

Etapa 2.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1.1.1

Fatore $x$ de $- x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} + \frac{x (- x)}{x y}$

Etapa 2.1.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1.1.2.1

Fatore $x$ de $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} + \frac{x (- x)}{x (y)}$

Etapa 2.1.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} + \frac{x (- x)}{x y}$

Etapa 2.1.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} + \frac{- x}{y}$

Etapa 2.1.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} - \frac{x}{y}$

Etapa 2.2

Fatore.

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Etapa 2.2.1

Para escrever $- \frac{x}{y}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} - \frac{x}{y} \cdot \frac{x}{x}$

Etapa 2.2.2

Escreva cada expressão com um denominador comum de $x y$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 2.2.2.1

Multiplique $\frac{x}{y}$ por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} - \frac{x \cdot x}{y x}$

Etapa 2.2.2.2

Reordene os fatores de $y x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} - \frac{x \cdot x}{x y}$

Etapa 2.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - x \cdot x}{x y}$

Etapa 2.2.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.2.4.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1^{2} - x \cdot x}{x y}$

Etapa 2.2.4.2

Reescreva $x \cdot x$ como $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1^{2} - x^{2}}{x y}$

Etapa 2.2.4.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 + x) (1 - x)}{x y}$

Etapa 2.3

Reagrupe os fatores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} \cdot \frac{1}{y}$

Etapa 2.4

Multiplique os dois lados por $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{(1 + x) (1 - x)}{x} \cdot \frac{1}{y})$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Multiplique $\frac{(1 + x) (1 - x)}{x}$ por $\frac{1}{y}$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{(1 + x) (1 - x)}{x y}$

Etapa 2.5.2

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 2.5.2.1

Fatore $y$ de $x y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{(1 + x) (1 - x)}{y x}$

Etapa 2.5.2.2

Cancele o fator comum.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{(1 + x) (1 - x)}{y x}$

Etapa 2.5.2.3

Reescreva a expressão.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{(1 + x) (1 - x)}{x}$

Etapa 2.6

Reescreva a equação.

$y d y = \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

Etapa 3

Integre os dois lados.

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Etapa 3.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int y d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

Etapa 3.3

Integre o lado direito.

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Etapa 3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 (1 - x) + x (1 - x)}{x} d x$

Etapa 3.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x)}{x} d x$

Etapa 3.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)}{x} d x$

Etapa 3.3.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.3.4.1

Reordene $x$ e $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 x + 1 \cdot x + x (- x)}{x} d x$

Etapa 3.3.4.2

Reordene $x$ e $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 x + 1 \cdot x - 1 \cdot x \cdot x}{x} d x$

Etapa 3.3.4.3

Multiplique $1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 + 1 \cdot - 1 x + 1 x - 1 x \cdot x}{x} d x$

Etapa 3.3.4.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 - x + 1 x - 1 x \cdot x}{x} d x$

Etapa 3.3.4.5

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 - x + x - 1 x \cdot x}{x} d x$

Etapa 3.3.5

Fatore o negativo.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 - x + x - (x \cdot x)}{x} d x$

Etapa 3.3.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 - x + x - (x^{1} x)}{x} d x$

Etapa 3.3.7

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 - x + x - (x^{1} x^{1})}{x} d x$

Etapa 3.3.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 - x + x - x^{1 + 1}}{x} d x$

Etapa 3.3.9

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 - x + x - x^{2}}{x} d x$

Etapa 3.3.10

Some $- x$ e $x$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 + 0 - x^{2}}{x} d x$

Etapa 3.3.11

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.3.11.1

Subtraia $x^{2}$ de $0$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 - x^{2}}{x} d x$

Etapa 3.3.11.2

Reordene $1$ e $- x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{- x^{2} + 1}{x} d x$

Etapa 3.3.12

Divida $- x^{2} + 1$ por $x$ .

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Etapa 3.3.12.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

Etapa 3.3.12.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				-	$x$
	$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$

Etapa 3.3.12.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	+	$0$

Etapa 3.3.12.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- x^{2} + 0$ .

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$

Etapa 3.3.12.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$
						$0$

Etapa 3.3.12.6

Tire o próximo termo do dividendo original e o coloque no dividendo atual.

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$
						$0$	+	$1$

Etapa 3.3.12.7

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - x + \frac{1}{x} d x$

Etapa 3.3.13

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - x d x + \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 3.3.14

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int x d x + \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 3.3.15

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 3.3.16

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \ln (| x |) + C_{3}$

Etapa 3.3.17

Simplifique.

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Etapa 3.3.17.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \ln (| x |) + C_{3}$

Etapa 3.3.17.2

Simplifique.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C_{4}$

Etapa 3.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C$

Etapa 4

Resolva $y$ .

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Etapa 4.1

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

Etapa 4.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 4.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1.1

Simplifique $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

Etapa 4.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

Etapa 4.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

Etapa 4.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.2.2.1

Simplifique $2 (- \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1

Combine $x^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2} + \ln (| x |) + C)$

Etapa 4.2.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 \ln (| x |) + 2 C$

Etapa 4.2.2.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.2.1.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{x^{2}}{2}$ para o numerador.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{2}}{2} + 2 \ln (| x |) + 2 C$

Etapa 4.2.2.1.3.2

Cancele o fator comum.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{2}}{2} + 2 \ln (| x |) + 2 C$

Etapa 4.2.2.1.3.3

Reescreva a expressão.

$y^{2} = - x^{2} + 2 \ln (| x |) + 2 C$

Etapa 4.3

Simplifique $2 \ln (| x |)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$y^{2} = - x^{2} + \ln ({| x |}^{2}) + 2 C$

Etapa 4.4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{- x^{2} + \ln ({| x |}^{2}) + 2 C}$

Etapa 4.5

Remova o valor absoluto em ${| x |}^{2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$y = \pm \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

Etapa 4.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 4.6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

Etapa 4.6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

Etapa 4.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

Etapa 5

Simplifique a constante de integração.

$y = \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + C}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + C}$