Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \tan (x) \cos^{2} (y)$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{\cos^{2} (y)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} (\tan (x) \cos^{2} (y))$

Etapa 1.2

Simplifique.

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum de $\cos^{2} (y)$ .

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Etapa 1.2.1.1

Fatore $\cos^{2} (y)$ de $\tan (x) \cos^{2} (y)$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} (\cos^{2} (y) \tan (x))$

Etapa 1.2.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} (\cos^{2} (y) \tan (x))$

Etapa 1.2.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \tan (x)$

Etapa 1.2.2

Reescreva $\tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 1.2.3

Converta de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ em $\tan (x)$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \tan (x)$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} d y = \tan (x) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{\cos^{2} (y)} d y = \int \tan (x) d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Converta de $\frac{1}{\cos^{2} (y)}$ em $\sec^{2} (y)$ .

$\int \sec^{2} (y) d y = \int \tan (x) d x$

Etapa 2.2.2

Como a derivada de $\tan (y)$ é $\sec^{2} (y)$ , a integral de $\sec^{2} (y)$ é $\tan (y)$ .

$\tan (y) + C_{1} = \int \tan (x) d x$

Etapa 2.3

A integral de $\tan (x)$ com relação a $x$ é $\ln (| \sec (x) |)$ .

$\tan (y) + C_{1} = \ln (| \sec (x) |) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\tan (y) = \ln (| \sec (x) |) + C$

Etapa 3

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $y$ de dentro da tangente.

$y = \arctan (\ln (| \sec (x) |) + C)$