Cálculo Exemplos

$x \frac{d y}{d x} + y = x e^{x}$

Etapa 1

Verifique se o lado esquerdo da equação é o resultado da derivada do termo $x y$ .

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Etapa 1.4

Substitua $\frac{d y}{d x}$ por $y'$ .

$x \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

Etapa 1.5

Reordene $y$ e $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

Etapa 1.6

Multiplique $y$ por $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + y$

Etapa 2

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [x y] = x e^{x}$

Etapa 3

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int x e^{x} d x$

Etapa 4

Integre o lado esquerdo.

$x y = \int x e^{x} d x$

Etapa 5

Integre o lado direito.

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Etapa 5.1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = e^{x}$ .

$x y = x e^{x} - \int e^{x} d x$

Etapa 5.2

A integral de $e^{x}$ com relação a $x$ é $e^{x}$ .

$x y = x e^{x} - (e^{x} + C)$

Etapa 5.3

Simplifique.

$x y = x e^{x} - e^{x} + C$

Etapa 6

Divida cada termo em $x y = x e^{x} - e^{x} + C$ por $x$ e simplifique.

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Etapa 6.1

Divida cada termo em $x y = x e^{x} - e^{x} + C$ por $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{x e^{x}}{x} + \frac{- e^{x}}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 6.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x y}{x} = \frac{x e^{x}}{x} + \frac{- e^{x}}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 6.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{x e^{x}}{x} + \frac{- e^{x}}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 6.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.3.1.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 6.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{x e^{x}}{x} + \frac{- e^{x}}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 6.3.1.1.2

Divida $e^{x}$ por $1$ .

$y = e^{x} + \frac{- e^{x}}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 6.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = e^{x} - \frac{e^{x}}{x} + \frac{C}{x}$