Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{3} y = \frac{1}{3} (1 + 3 x) y^{4}$

Etapa 1

Para resolver a equação diferencial, deixe $v = y^{1 - n}$ , em que $n$ é o expoente de $y^{4}$ .

$v = y^{- 3}$

Etapa 2

Resolva a equação para $y$ .

$y = v^{- \frac{1}{3}}$

Etapa 3

Calcule a derivada de $y$ com relação a $x$ .

$y' = v^{- \frac{1}{3}}$

Etapa 4

Calcule a derivada de $v^{- \frac{1}{3}}$ com relação a $x$ .

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Etapa 4.1

Calcule a derivada de $v^{- \frac{1}{3}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- \frac{1}{3}}]$

Etapa 4.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v^{\frac{1}{3}}}]$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 1$ e $g (x) = v^{\frac{1}{3}}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{{(v^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 4.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 4.4.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{{(v^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 4.4.2

Multiplique os expoentes em ${(v^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

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Etapa 4.4.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{1}{3} \cdot 2}}$

Etapa 4.4.2.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $2$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.4.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.4.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.4.4.1

Multiplique $v^{\frac{1}{3}}$ por $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.4.4.2

Subtraia $\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]$ de $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.4.4.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = v$ .

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Etapa 4.5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $v$ .

$y' = - \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.5.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $v$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.7

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.9.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.9.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.11

Combine $\frac{1}{3}$ e $v^{- \frac{2}{3}}$ .

$y' = - \frac{\frac{v^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.12

Mova $v^{- \frac{2}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3 v^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.13

Reescreva $\frac{d}{d x} [v]$ como $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3 v^{\frac{2}{3}}} v'}{v^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.14

Combine $\frac{1}{3 v^{\frac{2}{3}}}$ e $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}}}{v^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.15

Reescreva $\frac{\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}}}{v^{\frac{2}{3}}}$ como um produto.

$y' = - (\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{v^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 4.16

Multiplique $\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}}$ por $\frac{1}{v^{\frac{2}{3}}}$ .

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}} v^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.17

Multiplique $v^{\frac{2}{3}}$ por $v^{\frac{2}{3}}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.17.1

Mova $v^{\frac{2}{3}}$ .

$y' = - \frac{v'}{3 (v^{\frac{2}{3}} v^{\frac{2}{3}})}$

Etapa 4.17.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}$

Etapa 4.17.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{2 + 2}{3}}}$

Etapa 4.17.4

Some $2$ e $2$ .

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 5

Substitua $- \frac{v'}{3 v^{\frac{4}{3}}}$ por $\frac{d y}{d x}$ e $v^{- \frac{1}{3}}$ por $y$ na equação original $\frac{d y}{d x} + \frac{1}{3} y = \frac{1}{3} (1 + 3 x) y^{4}$ .

$- \frac{v'}{3 v^{\frac{4}{3}}} + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$

Etapa 6

Resolva a equação diferencial substituída.

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Etapa 6.1

Reescreva a equação como $M (x) \frac{d v}{d x} + P (x) v = Q (x)$ .

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Etapa 6.1.1

Multiplique cada termo em $- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$ por $- (3 v^{\frac{4}{3}})$ para eliminar as frações.

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Etapa 6.1.1.1

Multiplique cada termo em $- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$ por $- (3 v^{\frac{4}{3}})$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Etapa 6.1.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.1.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.1.1.2.1.1

Cancele o fator comum de $3 v^{\frac{4}{3}}$ .

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Etapa 6.1.1.2.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}}$ para o numerador.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Etapa 6.1.1.2.1.1.2

Fatore $3 v^{\frac{4}{3}}$ de $- (3 v^{\frac{4}{3}})$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (3 v^{\frac{4}{3}} (- 1)) + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Etapa 6.1.1.2.1.1.3

Cancele o fator comum.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (3 v^{\frac{4}{3}} \cdot - 1) + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Etapa 6.1.1.2.1.1.4

Reescreva a expressão.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Etapa 6.1.1.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Etapa 6.1.1.2.1.3

Multiplique $\frac{d v}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Etapa 6.1.1.2.1.4

Multiplique $v^{- \frac{1}{3}}$ por $v^{\frac{4}{3}}$ somando os expoentes.

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Etapa 6.1.1.2.1.4.1

Mova $v^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} (v^{\frac{4}{3}} v^{- \frac{1}{3}}) (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Etapa 6.1.1.2.1.4.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} v^{\frac{4}{3} - \frac{1}{3}} (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Etapa 6.1.1.2.1.4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} v^{\frac{4 - 1}{3}} (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Etapa 6.1.1.2.1.4.4

Subtraia $1$ de $4$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} v^{\frac{3}{3}} (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Etapa 6.1.1.2.1.4.5

Divida $3$ por $3$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} v^{1} (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Etapa 6.1.1.2.1.5

Simplifique $\frac{1}{3} v^{1} (- 1 \cdot (3))$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} v (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Etapa 6.1.1.2.1.6

Combine $\frac{1}{3}$ e $v$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{3} (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Etapa 6.1.1.2.1.7

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 6.1.1.2.1.7.1

Fatore $3$ de $- 1 \cdot (3)$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{3} (3 \cdot - 1) = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Etapa 6.1.1.2.1.7.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{3} (3 \cdot - 1) = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Etapa 6.1.1.2.1.7.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d v}{d x} + v \cdot - 1 = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Etapa 6.1.1.2.1.8

Mova $- 1$ para a esquerda de $v$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot v = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Etapa 6.1.1.2.1.9

Reescreva $- 1 v$ como $- v$ .

$\frac{d v}{d x} - v = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Etapa 6.1.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.1.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d v}{d x} - v = (\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3} (3 x)) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Etapa 6.1.1.3.2

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$\frac{d v}{d x} - v = (\frac{1}{3} + \frac{1}{3} (3 x)) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Etapa 6.1.1.3.3

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 6.1.1.3.3.1

Fatore $3$ de $3 x$ .

$\frac{d v}{d x} - v = (\frac{1}{3} + \frac{1}{3} (3 (x))) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Etapa 6.1.1.3.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d v}{d x} - v = (\frac{1}{3} + \frac{1}{3} (3 x)) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Etapa 6.1.1.3.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d v}{d x} - v = (\frac{1}{3} + x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Etapa 6.1.1.3.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.1.1.3.4.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{d v}{d x} - v = - 1 \cdot 3 (\frac{1}{3} + x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Etapa 6.1.1.3.4.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{d v}{d x} - v = - 3 (\frac{1}{3} + x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Etapa 6.1.1.3.5

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d v}{d x} - v = (- 3 (\frac{1}{3}) - 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Etapa 6.1.1.3.6

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 6.1.1.3.6.1

Fatore $3$ de $- 3$ .

$\frac{d v}{d x} - v = (3 (- 1) \frac{1}{3} - 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Etapa 6.1.1.3.6.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d v}{d x} - v = (3 \cdot - 1 \frac{1}{3} - 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Etapa 6.1.1.3.6.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d v}{d x} - v = (- 1 - 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Etapa 6.1.1.3.7

Multiplique os expoentes em ${(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$ .

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Etapa 6.1.1.3.7.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} - v = (- 1 - 3 x) v^{- \frac{1}{3} \cdot 4} v^{\frac{4}{3}}$

Etapa 6.1.1.3.7.2

Multiplique $- \frac{1}{3} \cdot 4$ .

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Etapa 6.1.1.3.7.2.1

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} - v = (- 1 - 3 x) v^{- 4 (\frac{1}{3})} v^{\frac{4}{3}}$

Etapa 6.1.1.3.7.2.2

Combine $- 4$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{d v}{d x} - v = (- 1 - 3 x) v^{\frac{- 4}{3}} v^{\frac{4}{3}}$

Etapa 6.1.1.3.7.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d v}{d x} - v = (- 1 - 3 x) v^{- \frac{4}{3}} v^{\frac{4}{3}}$

Etapa 6.1.1.3.8

Multiplique $v^{- \frac{4}{3}}$ por $v^{\frac{4}{3}}$ somando os expoentes.

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Etapa 6.1.1.3.8.1

Mova $v^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{d v}{d x} - v = (- 1 - 3 x) (v^{\frac{4}{3}} v^{- \frac{4}{3}})$

Etapa 6.1.1.3.8.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d v}{d x} - v = (- 1 - 3 x) v^{\frac{4}{3} - \frac{4}{3}}$

Etapa 6.1.1.3.8.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d v}{d x} - v = (- 1 - 3 x) v^{\frac{4 - 4}{3}}$

Etapa 6.1.1.3.8.4

Subtraia $4$ de $4$ .

$\frac{d v}{d x} - v = (- 1 - 3 x) v^{\frac{0}{3}}$

Etapa 6.1.1.3.8.5

Divida $0$ por $3$ .

$\frac{d v}{d x} - v = (- 1 - 3 x) v^{0}$

Etapa 6.1.1.3.9

Simplifique $(- 1 - 3 x) v^{0}$ .

$\frac{d v}{d x} - v = - 1 - 3 x$

Etapa 6.1.2

Reordene os termos.

$\frac{d v}{d x} - v = - 3 x - 1$

Etapa 6.2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = - 1$ .

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Etapa 6.2.1

Determine a integração.

$e^{\int - 1 d x}$

Etapa 6.2.2

Aplique a regra da constante.

$e^{- x + C}$

Etapa 6.2.3

Remova a constante de integração.

$e^{- x}$

Etapa 6.3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{- x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Multiplique cada termo por $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d v}{d x} + e^{- x} (- v) = e^{- x} (- 3 x) + e^{- x} \cdot - 1$

Etapa 6.3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = e^{- x} (- 3 x) + e^{- x} \cdot - 1$

Etapa 6.3.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = - 3 e^{- x} x + e^{- x} \cdot - 1$

Etapa 6.3.3.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = - 3 e^{- x} x - 1 \cdot e^{- x}$

Etapa 6.3.3.3

Reescreva $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = - 3 e^{- x} x - e^{- x}$

Etapa 6.3.4

Reordene os fatores em $e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = - 3 e^{- x} x - e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - v e^{- x} = - 3 x e^{- x} - e^{- x}$

Etapa 6.4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [e^{- x} v] = - 3 x e^{- x} - e^{- x}$

Etapa 6.5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} v] d x = \int - 3 x e^{- x} - e^{- x} d x$

Etapa 6.6

Integre o lado esquerdo.

$e^{- x} v = \int - 3 x e^{- x} - e^{- x} d x$

Etapa 6.7

Integre o lado direito.

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Etapa 6.7.1

Divida a integral única em várias integrais.

$e^{- x} v = \int - 3 x e^{- x} d x + \int - e^{- x} d x$

Etapa 6.7.2

Como $- 3$ é constante com relação a $x$ , mova $- 3$ para fora da integral.

$e^{- x} v = - 3 \int x e^{- x} d x + \int - e^{- x} d x$

Etapa 6.7.3

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = e^{- x}$ .

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x) + \int - e^{- x} d x$

Etapa 6.7.4

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x) + \int - e^{- x} d x$

Etapa 6.7.5

Simplifique.

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Etapa 6.7.5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x) + \int - e^{- x} d x$

Etapa 6.7.5.2

Multiplique $\int e^{- x} d x$ por $1$ .

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x) + \int - e^{- x} d x$

Etapa 6.7.6

Deixe $u_{1} = - x$ . Depois, $d u_{1} = - d x$ , então, $- d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 6.7.6.1

Deixe $u_{1} = - x$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 6.7.6.1.1

Diferencie $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 6.7.6.1.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 6.7.6.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Etapa 6.7.6.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 6.7.6.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) + \int - e^{u_{1}} d u_{1}) + \int - e^{- x} d x$

Etapa 6.7.7

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) - \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int - e^{- x} d x$

Etapa 6.7.8

A integral de $e^{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $e^{u_{1}}$ .

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) + \int - e^{- x} d x$

Etapa 6.7.9

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) - \int e^{- x} d x$

Etapa 6.7.10

Deixe $u_{2} = - x$ . Depois, $d u_{2} = - d x$ , então, $- d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 6.7.10.1

Deixe $u_{2} = - x$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 6.7.10.1.1

Diferencie $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 6.7.10.1.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 6.7.10.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Etapa 6.7.10.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 6.7.10.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) - \int - e^{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 6.7.11

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) - - \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 6.7.12

Simplifique.

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Etapa 6.7.12.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) + 1 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 6.7.12.2

Multiplique $\int e^{u_{2}} d u_{2}$ por $1$ .

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) + \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 6.7.13

A integral de $e^{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $e^{u_{2}}$ .

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) + e^{u_{2}} + C$

Etapa 6.7.14

Simplifique.

$e^{- x} v = - 3 (- x e^{- x} - e^{u_{1}}) + e^{u_{2}} + C$

Etapa 6.7.15

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 6.7.15.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $- x$ .

$e^{- x} v = - 3 (- x e^{- x} - e^{- x}) + e^{u_{2}} + C$

Etapa 6.7.15.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $- x$ .

$e^{- x} v = - 3 (- x e^{- x} - e^{- x}) + e^{- x} + C$

Etapa 6.8

Divida cada termo em $e^{- x} v = - 3 (- x e^{- x} - e^{- x}) + e^{- x} + C$ por $e^{- x}$ e simplifique.

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Etapa 6.8.1

Divida cada termo em $e^{- x} v = - 3 (- x e^{- x} - e^{- x}) + e^{- x} + C$ por $e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} v}{e^{- x}} = \frac{- 3 (- x e^{- x} - e^{- x})}{e^{- x}} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Etapa 6.8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.8.2.1

Cancele o fator comum de $e^{- x}$ .

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Etapa 6.8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{- x} v}{e^{- x}} = \frac{- 3 (- x e^{- x} - e^{- x})}{e^{- x}} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Etapa 6.8.2.1.2

Divida $v$ por $1$ .

$v = \frac{- 3 (- x e^{- x} - e^{- x})}{e^{- x}} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Etapa 6.8.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.8.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$v = \frac{- 3 (- x e^{- x} - e^{- x}) + e^{- x} + C}{e^{- x}}$

Etapa 6.8.3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.8.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$v = \frac{- 3 (- x e^{- x}) - 3 (- e^{- x}) + e^{- x} + C}{e^{- x}}$

Etapa 6.8.3.2.2

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$v = \frac{3 (x e^{- x}) - 3 (- e^{- x}) + e^{- x} + C}{e^{- x}}$

Etapa 6.8.3.2.3

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$v = \frac{3 x e^{- x} + 3 e^{- x} + e^{- x} + C}{e^{- x}}$

Etapa 6.8.3.3

Some $3 e^{- x}$ e $e^{- x}$ .

$v = \frac{3 x e^{- x} + 4 e^{- x} + C}{e^{- x}}$

Etapa 7

Substitua $y^{- 3}$ por $v$ .

$y^{- 3} = \frac{3 x e^{- x} + 4 e^{- x} + C}{e^{- x}}$