Cálculo Exemplos

$(x + 3 x^{3} \sin (y)) d x + (x^{4} \cos (y)) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = x + 3 x^{3} \sin (y)$ .

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Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x + 3 x^{3} \sin (y)]$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 3 x^{3} \sin (y)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [3 x^{3} \sin (y)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [3 x^{3} \sin (y)]$

Etapa 1.2.2

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [3 x^{3} \sin (y)]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [3 x^{3} \sin (y)]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $3 x^{3}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $3 x^{3} \sin (y)$ em relação a $y$ é $3 x^{3} \frac{d}{d y} [\sin (y)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 x^{3} \frac{d}{d y} [\sin (y)]$

Etapa 1.3.2

A derivada de $\sin (y)$ em relação a $y$ é $\cos (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 x^{3} \cos (y)$

Etapa 1.4

Some $0$ e $3 x^{3} \cos (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{3} \cos (y)$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = x^{4} \cos (y)$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{4} \cos (y)]$

Etapa 2.2

Como $\cos (y)$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $x^{4} \cos (y)$ em relação a $x$ é $\cos (y) \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) (4 x^{3})$

Etapa 2.4

Reordene.

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Etapa 2.4.1

Mova $4$ para a esquerda de $\cos (y)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 \cdot \cos (y) x^{3}$

Etapa 2.4.2

Reordene os fatores de $4 \cos (y) x^{3}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x^{3} \cos (y)$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $3 x^{3} \cos (y)$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $4 x^{3} \cos (y)$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$3 x^{3} \cos (y) = 4 x^{3} \cos (y)$

Etapa 3.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$3 x^{3} \cos (y) = 4 x^{3} \cos (y)$ não é uma identidade.

Etapa 4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Etapa 4.1

Substitua $3 x^{3} \cos (y)$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{3 x^{3} \cos (y) - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Etapa 4.2

Substitua $4 x^{3} \cos (y)$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{3 x^{3} \cos (y) - (4 x^{3} \cos (y))}{N}$

Etapa 4.3

Substitua $x^{4} \cos (y)$ por $N$ .

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Etapa 4.3.1

Substitua $x^{4} \cos (y)$ por $N$ .

$\frac{3 x^{3} \cos (y) - (4 x^{3} \cos (y))}{x^{4} \cos (y)}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.3.2.1

Fatore $x^{3} \cos (y)$ de $3 x^{3} \cos (y) - 1 \cdot 4 x^{3} \cos (y)$ .

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Etapa 4.3.2.1.1

Fatore $x^{3} \cos (y)$ de $3 x^{3} \cos (y)$ .

$\frac{x^{3} \cos (y) (3) - 1 \cdot 4 x^{3} \cos (y)}{x^{4} \cos (y)}$

Etapa 4.3.2.1.2

Fatore $x^{3} \cos (y)$ de $- 1 \cdot 4 x^{3} \cos (y)$ .

$\frac{x^{3} \cos (y) (3) + x^{3} \cos (y) (- 1 \cdot 4)}{x^{4} \cos (y)}$

Etapa 4.3.2.1.3

Fatore $x^{3} \cos (y)$ de $x^{3} \cos (y) (3) + x^{3} \cos (y) (- 1 \cdot 4)$ .

$\frac{x^{3} \cos (y) (3 - 1 \cdot 4)}{x^{4} \cos (y)}$

Etapa 4.3.2.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{x^{3} \cos (y) (3 - 4)}{x^{4} \cos (y)}$

Etapa 4.3.2.3

Subtraia $4$ de $3$ .

$\frac{x^{3} \cos (y) \cdot - 1}{x^{4} \cos (y)}$

Etapa 4.3.3

Cancele o fator comum de $x^{3}$ e $x^{4}$ .

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Etapa 4.3.3.1

Fatore $x^{3}$ de $x^{3} \cos (y) \cdot - 1$ .

$\frac{x^{3} (\cos (y) \cdot - 1)}{x^{4} \cos (y)}$

Etapa 4.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.3.3.2.1

Fatore $x^{3}$ de $x^{4} \cos (y)$ .

$\frac{x^{3} (\cos (y) \cdot - 1)}{x^{3} (x \cos (y))}$

Etapa 4.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{3} (\cos (y) \cdot - 1)}{x^{3} (x \cos (y))}$

Etapa 4.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\cos (y) \cdot - 1}{x \cos (y)}$

Etapa 4.3.4

Cancele o fator comum de $\cos (y)$ .

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Etapa 4.3.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\cos (y) \cdot - 1}{x \cos (y)}$

Etapa 4.3.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1}{x}$

Etapa 4.3.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{x}$

Etapa 4.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Etapa 5

Avalie a integral $e^{\int - \frac{1}{x} d x}$ .

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Etapa 5.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Etapa 5.2

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Etapa 5.3

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| x |)} + C$

Etapa 5.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.4.1

Simplifique $- \ln (| x |)$ movendo $- 1$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 1})} + C$

Etapa 5.4.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 1} + C$

Etapa 5.4.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| x |} + C$

Etapa 6

Multiplique ambos os lados de $(x + 3 x^{3} \sin (y)) d x + x^{4} \cos (y) d y = 0$ pelo fator de integração $\frac{1}{x}$ .

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Etapa 6.1

Multiplique $x + 3 x^{3} \sin (y)$ por $\frac{1}{x}$ .

$(x + 3 x^{3} \sin (y)) \frac{1}{x} d x + x^{4} \cos (y) d y = 0$

Etapa 6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(x \frac{1}{x} + 3 x^{3} \sin (y) \frac{1}{x}) d x + x^{4} \cos (y) d y = 0$

Etapa 6.3

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 6.3.1

Cancele o fator comum.

$(x \frac{1}{x} + 3 x^{3} \sin (y) \frac{1}{x}) d x + x^{4} \cos (y) d y = 0$

Etapa 6.3.2

Reescreva a expressão.

$(1 + 3 x^{3} \sin (y) \frac{1}{x}) d x + x^{4} \cos (y) d y = 0$

Etapa 6.4

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 6.4.1

Fatore $x$ de $3 x^{3} \sin (y)$ .

$(1 + x (3 x^{2} \sin (y)) \frac{1}{x}) d x + x^{4} \cos (y) d y = 0$

Etapa 6.4.2

Cancele o fator comum.

$(1 + x (3 x^{2} \sin (y)) \frac{1}{x}) d x + x^{4} \cos (y) d y = 0$

Etapa 6.4.3

Reescreva a expressão.

$(1 + 3 x^{2} \sin (y)) d x + x^{4} \cos (y) d y = 0$

Etapa 6.5

Multiplique $x^{4} \cos (y)$ por $\frac{1}{x}$ .

$(1 + 3 x^{2} \sin (y)) d x + x^{4} \cos (y) \frac{1}{x} d y = 0$

Etapa 6.6

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 6.6.1

Fatore $x$ de $x^{4} \cos (y)$ .

$(1 + 3 x^{2} \sin (y)) d x + x (x^{3} \cos (y)) \frac{1}{x} d y = 0$

Etapa 6.6.2

Cancele o fator comum.

$(1 + 3 x^{2} \sin (y)) d x + x (x^{3} \cos (y)) \frac{1}{x} d y = 0$

Etapa 6.6.3

Reescreva a expressão.

$(1 + 3 x^{2} \sin (y)) d x + x^{3} \cos (y) d y = 0$

Etapa 7

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{3} \cos (y) d y$

Etapa 8

Integre $N (x, y) = x^{3} \cos (y)$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 8.1

Como $x^{3}$ é constante com relação a $y$ , mova $x^{3}$ para fora da integral.

$f (x, y) = x^{3} \int \cos (y) d y$

Etapa 8.2

A integral de $\cos (y)$ com relação a $y$ é $\sin (y)$ .

$f (x, y) = x^{3} (\sin (y) + C)$

Etapa 8.3

Simplifique.

$f (x, y) = x^{3} \sin (y) + C$

Etapa 9

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = x^{3} \sin (y) + g (x)$

Etapa 10

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 1 + 3 x^{2} \sin (y)$

Etapa 11

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Etapa 11.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} \sin (y) + g (x)] = 1 + 3 x^{2} \sin (y)$

Etapa 11.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} \sin (y) + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3} \sin (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} \sin (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + 3 x^{2} \sin (y)$

Etapa 11.3

Avalie $\frac{d}{d x} [x^{3} \sin (y)]$ .

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Etapa 11.3.1

Como $\sin (y)$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $x^{3} \sin (y)$ em relação a $x$ é $\sin (y) \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\sin (y) \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + 3 x^{2} \sin (y)$

Etapa 11.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\sin (y) (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + 3 x^{2} \sin (y)$

Etapa 11.3.3

Mova $3$ para a esquerda de $\sin (y)$ .

$3 \sin (y) x^{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + 3 x^{2} \sin (y)$

Etapa 11.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$3 \sin (y) x^{2} + \frac{d g}{d x} = 1 + 3 x^{2} \sin (y)$

Etapa 11.5

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} \sin (y) = 1 + 3 x^{2} \sin (y)$

Etapa 12

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 12.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d x}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 12.1.1

Subtraia $3 x^{2} \sin (y)$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} = 1 + 3 x^{2} \sin (y) - 3 x^{2} \sin (y)$

Etapa 12.1.2

Combine os termos opostos em $1 + 3 x^{2} \sin (y) - 3 x^{2} \sin (y)$ .

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Etapa 12.1.2.1

Subtraia $3 x^{2} \sin (y)$ de $3 x^{2} \sin (y)$ .

$\frac{d g}{d x} = 1 + 0$

Etapa 12.1.2.2

Some $1$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 1$

Etapa 13

Encontre a antiderivada de $1$ para encontrar $g (x)$ .

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Etapa 13.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = 1$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int d x$

Etapa 13.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int d x$

Etapa 13.3

Aplique a regra da constante.

$g (x) = x + C$

Etapa 14

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = x^{3} \sin (y) + g (x)$ .

$f (x, y) = x^{3} \sin (y) + x + C$