Cálculo Exemplos

$2 w t \frac{d t}{d w} = t^{2} - 2 w^{3}$

Etapa 1

Deixe $v = t^{2}$ . Substitua $v$ em todas as ocorrências de $t^{2}$ .

$2 w t \frac{d t}{d w} = v - 2 w^{3}$

Etapa 2

Encontre $\frac{d v}{d w}$ ao diferenciar $t^{2}$ .

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ é $f' (g (w)) g' (w)$ , em que $f (w) = w^{2}$ e $g (w) = t$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $t$ .

$\frac{d v}{d w} = \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d w} [t]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{d v}{d w} = 2 u \frac{d}{d w} [t]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $t$ .

$\frac{d v}{d w} = 2 t \frac{d}{d w} [t]$

Etapa 2.2

Reescreva $\frac{d}{d w} [t]$ como $t'$ .

$\frac{d v}{d w} = 2 t t'$

Etapa 3

Substitua a derivada na equação diferencial.

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Etapa 3.1

Fatore $2 t$ de $2 w t$ .

$2 t (w) \frac{\frac{d v}{d w}}{2 t} = v - 2 w^{3}$

Etapa 3.2

Cancele o fator comum.

$2 t w \frac{\frac{d v}{d w}}{2 t} = v - 2 w^{3}$

Etapa 3.3

Reescreva a expressão.

$w \frac{d v}{d w} = v - 2 w^{3}$

Etapa 4

Reescreva a equação diferencial como $\frac{d v}{d w} + M (w) v = Q (w)$ .

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Etapa 4.1

Subtraia $v$ dos dois lados da equação.

$w \frac{d v}{d w} - v = - 2 w^{3}$

Etapa 4.2

Divida cada termo em $w \frac{d v}{d w} - v = - 2 w^{3}$ por $w$ .

$\frac{w \frac{d v}{d w}}{w} + \frac{- v}{w} = \frac{- 2 w^{3}}{w}$

Etapa 4.3

Cancele o fator comum de $w$ .

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Etapa 4.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{w \frac{d v}{d w}}{w} + \frac{- v}{w} = \frac{- 2 w^{3}}{w}$

Etapa 4.3.2

Divida $\frac{d v}{d w}$ por $1$ .

$\frac{d v}{d w} + \frac{- v}{w} = \frac{- 2 w^{3}}{w}$

Etapa 4.4

Cancele o fator comum de $w^{3}$ e $w$ .

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Etapa 4.4.1

Fatore $w$ de $- 2 w^{3}$ .

$\frac{d v}{d w} + \frac{- v}{w} = \frac{w (- 2 w^{2})}{w}$

Etapa 4.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.4.2.1

Eleve $w$ à potência de $1$ .

$\frac{d v}{d w} + \frac{- v}{w} = \frac{w (- 2 w^{2})}{w^{1}}$

Etapa 4.4.2.2

Fatore $w$ de $w^{1}$ .

$\frac{d v}{d w} + \frac{- v}{w} = \frac{w (- 2 w^{2})}{w \cdot 1}$

Etapa 4.4.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{d v}{d w} + \frac{- v}{w} = \frac{w (- 2 w^{2})}{w \cdot 1}$

Etapa 4.4.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{d v}{d w} + \frac{- v}{w} = \frac{- 2 w^{2}}{1}$

Etapa 4.4.2.5

Divida $- 2 w^{2}$ por $1$ .

$\frac{d v}{d w} + \frac{- v}{w} = - 2 w^{2}$

Etapa 4.5

Fatore $v$ de $\frac{- v}{w}$ .

$\frac{d v}{d w} + v \frac{- 1}{w} = - 2 w^{2}$

Etapa 4.6

Reordene $v$ e $\frac{- 1}{w}$ .

$\frac{d v}{d w} + \frac{- 1}{w} v = - 2 w^{2}$

Etapa 5

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (w) d w}$ , em que $P (w) = \frac{- 1}{w}$ .

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Etapa 5.1

Determine a integração.

$e^{\int \frac{- 1}{w} d w}$

Etapa 5.2

Integre $\frac{- 1}{w}$ .

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Etapa 5.2.1

Divida a fração em diversas frações.

$e^{\int - \frac{1}{w} d w}$

Etapa 5.2.2

Como $- 1$ é constante com relação a $w$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$e^{- \int \frac{1}{w} d w}$

Etapa 5.2.3

A integral de $\frac{1}{w}$ com relação a $w$ é $\ln (| w |)$ .

$e^{- (\ln (| w |) + C)}$

Etapa 5.2.4

Simplifique.

$e^{- \ln (| w |) + C}$

Etapa 5.3

Remova a constante de integração.

$e^{- \ln (w)}$

Etapa 5.4

Use a regra da multiplicação de potências logarítmica.

$e^{\ln (w^{- 1})}$

Etapa 5.5

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$w^{- 1}$

Etapa 5.6

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{w}$

Etapa 6

Multiplique cada termo pelo fator de integração $\frac{1}{w}$ .

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Etapa 6.1

Multiplique cada termo por $\frac{1}{w}$ .

$\frac{1}{w} \frac{d v}{d w} + \frac{1}{w} (\frac{- 1}{w} v) = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

Etapa 6.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1

Combine $\frac{1}{w}$ e $\frac{d v}{d w}$ .

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} + \frac{1}{w} (\frac{- 1}{w} v) = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

Etapa 6.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} + \frac{1}{w} (- \frac{1}{w} v) = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

Etapa 6.2.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{1}{w} (\frac{1}{w} v) = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

Etapa 6.2.4

Combine $\frac{1}{w}$ e $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{1}{w} \cdot \frac{v}{w} = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

Etapa 6.2.5

Multiplique $- \frac{1}{w} \cdot \frac{v}{w}$ .

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Etapa 6.2.5.1

Multiplique $\frac{v}{w}$ por $\frac{1}{w}$ .

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w \cdot w} = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

Etapa 6.2.5.2

Eleve $w$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{1} w} = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

Etapa 6.2.5.3

Eleve $w$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{1} w^{1}} = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

Etapa 6.2.5.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{1 + 1}} = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

Etapa 6.2.5.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{2}} = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

Etapa 6.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{2}} = - 2 \frac{1}{w} w^{2}$

Etapa 6.4

Combine $- 2$ e $\frac{1}{w}$ .

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{2}} = \frac{- 2}{w} w^{2}$

Etapa 6.5

Cancele o fator comum de $w$ .

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Etapa 6.5.1

Fatore $w$ de $w^{2}$ .

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{2}} = \frac{- 2}{w} (w \cdot w)$

Etapa 6.5.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{2}} = \frac{- 2}{w} (w \cdot w)$

Etapa 6.5.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{2}} = - 2 w$

Etapa 7

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d w} [\frac{1}{w} v] = - 2 w$

Etapa 8

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d w} [\frac{1}{w} v] d w = \int - 2 w d w$

Etapa 9

Integre o lado esquerdo.

$\frac{1}{w} v = \int - 2 w d w$

Etapa 10

Integre o lado direito.

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Etapa 10.1

Como $- 2$ é constante com relação a $w$ , mova $- 2$ para fora da integral.

$\frac{1}{w} v = - 2 \int w d w$

Etapa 10.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $w$ com relação a $w$ é $\frac{1}{2} w^{2}$ .

$\frac{1}{w} v = - 2 (\frac{1}{2} w^{2} + C)$

Etapa 10.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 10.3.1

Reescreva $- 2 (\frac{1}{2} w^{2} + C)$ como $- 2 (\frac{1}{2}) w^{2} + C$ .

$\frac{1}{w} v = - 2 (\frac{1}{2}) w^{2} + C$

Etapa 10.3.2

Simplifique.

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Etapa 10.3.2.1

Combine $- 2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{w} v = \frac{- 2}{2} w^{2} + C$

Etapa 10.3.2.2

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

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Etapa 10.3.2.2.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{1}{w} v = \frac{2 \cdot - 1}{2} w^{2} + C$

Etapa 10.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 10.3.2.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{1}{w} v = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} w^{2} + C$

Etapa 10.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{w} v = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} w^{2} + C$

Etapa 10.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{w} v = \frac{- 1}{1} w^{2} + C$

Etapa 10.3.2.2.2.4

Divida $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{w} v = - w^{2} + C$

Etapa 11

Resolva $v$ .

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Etapa 11.1

Combine $\frac{1}{w}$ e $v$ .

$\frac{v}{w} = - w^{2} + C$

Etapa 11.2

Multiplique os dois lados por $w$ .

$\frac{v}{w} w = (- w^{2} + C) w$

Etapa 11.3

Simplifique.

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Etapa 11.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.1.1

Cancele o fator comum de $w$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{v}{w} w = (- w^{2} + C) w$

Etapa 11.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$v = (- w^{2} + C) w$

Etapa 11.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 11.3.2.1

Simplifique $(- w^{2} + C) w$ .

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Etapa 11.3.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$v = - w^{2} w + C w$

Etapa 11.3.2.1.2

Multiplique $w^{2}$ por $w$ somando os expoentes.

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Etapa 11.3.2.1.2.1

Mova $w$ .

$v = - (w \cdot w^{2}) + C w$

Etapa 11.3.2.1.2.2

Multiplique $w$ por $w^{2}$ .

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Etapa 11.3.2.1.2.2.1

Eleve $w$ à potência de $1$ .

$v = - (w^{1} w^{2}) + C w$

Etapa 11.3.2.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$v = - w^{1 + 2} + C w$

Etapa 11.3.2.1.2.3

Some $1$ e $2$ .

$v = - w^{3} + C w$

Etapa 12

Substitua todas as ocorrências de $v$ por $t^{2}$ .

$t^{2} = - w^{3} + C w$

Etapa 13

Resolva $t$ .

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Etapa 13.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$t = \pm \sqrt{- w^{3} + C w}$

Etapa 13.2

Fatore $w$ de $- w^{3} + C w$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1

Fatore $w$ de $- w^{3}$ .

$t = \pm \sqrt{w (- w^{2}) + C w}$

Etapa 13.2.2

Fatore $w$ de $C w$ .

$t = \pm \sqrt{w (- w^{2}) + w C}$

Etapa 13.2.3

Fatore $w$ de $w (- w^{2}) + w C$ .

$t = \pm \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

Etapa 13.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 13.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$t = \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

Etapa 13.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$t = - \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

Etapa 13.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$t = \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

$t = - \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

$t = \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

$t = - \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

$t = \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

$t = - \sqrt{w (- w^{2} + C)}$