Cálculo Exemplos

$6 x + \frac{1}{y} \cdot \frac{d y}{d x} = 12 x^{2}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Resolva $\frac{d y}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Combine $\frac{1}{y}$ e $\frac{d y}{d x}$ .

$6 x + \frac{\frac{d y}{d x}}{y} = 12 x^{2}$

Etapa 1.1.2

Subtraia $6 x$ dos dois lados da equação.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{y} = 12 x^{2} - 6 x$

Etapa 1.1.3

Multiplique os dois lados por $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{y} y = (12 x^{2} - 6 x) y$

Etapa 1.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.1.1

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{y} y = (12 x^{2} - 6 x) y$

Etapa 1.1.4.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} = (12 x^{2} - 6 x) y$

Etapa 1.1.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d y}{d x} = 12 x^{2} y - 6 x y$

Etapa 1.2

Fatore $6 x y$ de $12 x^{2} y - 6 x y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Fatore $6 x y$ de $12 x^{2} y$ .

$\frac{d y}{d x} = 6 x y (2 x) - 6 x y$

Etapa 1.2.2

Fatore $6 x y$ de $- 6 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = 6 x y (2 x) + 6 x y (- 1)$

Etapa 1.2.3

Fatore $6 x y$ de $6 x y (2 x) + 6 x y (- 1)$ .

$\frac{d y}{d x} = 6 x y (2 x - 1)$

Etapa 1.3

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (6 x y (2 x - 1))$

Etapa 1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{1}{y} (x y (2 x - 1))$

Etapa 1.4.2

Combine $6$ e $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{y} (x y (2 x - 1))$

Etapa 1.4.3

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.1

Fatore $y$ de $x y (2 x - 1)$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{y} (y (x (2 x - 1)))$

Etapa 1.4.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{y} (y (x (2 x - 1)))$

Etapa 1.4.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 6 (x (2 x - 1))$

Etapa 1.4.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 6 (x (2 x) + x \cdot - 1)$

Etapa 1.4.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 6 (2 x \cdot x + x \cdot - 1)$

Etapa 1.4.6

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 6 (2 x \cdot x - 1 \cdot x)$

Etapa 1.4.7

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.7.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.7.1.1

Mova $x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 6 (2 (x \cdot x) - 1 \cdot x)$

Etapa 1.4.7.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 6 (2 x^{2} - 1 \cdot x)$

Etapa 1.4.7.2

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 6 (2 x^{2} - x)$

Etapa 1.4.8

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 6 (2 x^{2}) + 6 (- x)$

Etapa 1.4.9

Multiplique $2$ por $6$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 12 x^{2} + 6 (- x)$

Etapa 1.4.10

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 12 x^{2} - 6 x$

Etapa 1.5

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y} d y = (12 x^{2} - 6 x) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 12 x^{2} - 6 x d x$

Etapa 2.2

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 12 x^{2} - 6 x d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 12 x^{2} d x + \int - 6 x d x$

Etapa 2.3.2

Como $12$ é constante com relação a $x$ , mova $12$ para fora da integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 12 \int x^{2} d x + \int - 6 x d x$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 12 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int - 6 x d x$

Etapa 2.3.4

Como $- 6$ é constante com relação a $x$ , mova $- 6$ para fora da integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 12 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - 6 \int x d x$

Etapa 2.3.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 12 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Etapa 2.3.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.6.1

Simplifique.

$\ln (| y |) + C_{1} = 12 (\frac{1}{3}) x^{3} - 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.6.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.6.2.1

Combine $12$ e $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{12}{3} x^{3} - 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.6.2.2

Cancele o fator comum de $12$ e $3$ .

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Etapa 2.3.6.2.2.1

Fatore $3$ de $12$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3} x^{3} - 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.6.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.6.2.2.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3 (1)} x^{3} - 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.6.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 1} x^{3} - 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.6.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4}{1} x^{3} - 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.6.2.2.2.4

Divida $4$ por $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 x^{3} - 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.6.2.3

Combine $- 6$ e $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 x^{3} + \frac{- 6}{2} x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.6.2.4

Cancele o fator comum de $- 6$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.6.2.4.1

Fatore $2$ de $- 6$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 x^{3} + \frac{2 \cdot - 3}{2} x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.6.2.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.6.2.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 x^{3} + \frac{2 \cdot - 3}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.6.2.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 x^{3} + \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.6.2.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 x^{3} + \frac{- 3}{1} x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.6.2.4.2.4

Divida $- 3$ por $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 x^{3} - 3 x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| y |) = 4 x^{3} - 3 x^{2} + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| y |)} = e^{4 x^{3} - 3 x^{2} + C}$

Etapa 3.2

Reescreva $\ln (| y |) = 4 x^{3} - 3 x^{2} + C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{4 x^{3} - 3 x^{2} + C} = | y |$

Etapa 3.3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $| y | = e^{4 x^{3} - 3 x^{2} + C}$ .

$| y | = e^{4 x^{3} - 3 x^{2} + C}$

Etapa 3.3.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{4 x^{3} - 3 x^{2} + C}$

Etapa 4

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 4.1

Reescreva $e^{4 x^{3} - 3 x^{2} + C}$ como $e^{4 x^{3} - 3 x^{2}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{4 x^{3} - 3 x^{2}} e^{C}$

Etapa 4.2

Reordene $e^{4 x^{3} - 3 x^{2}}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{4 x^{3} - 3 x^{2}}$

Etapa 4.3

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = C e^{4 x^{3} - 3 x^{2}}$